ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 103 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основание равнобедренного треугольника равно \( a \), противолежащий ему угол равен \( \alpha \). Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.
Дано: равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), \( AC = a \), \( \angle B = \alpha \), \( AD \) — биссектриса угла \( A \).
Углы при основании равны, значит \( \angle A = \angle C = 90^\circ — \frac{\alpha}{2} \).
Биссектриса делит угол \( A \) пополам: \( \angle BAD = \angle CAD = 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \).
В треугольнике \( ABC \) по теореме синусов:
\( \frac{AC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \angle C} \), откуда
\( AB = \frac{a \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} \).
В треугольнике \( ABD \):
\( \angle ABD = \alpha \),
\( \angle BDA = 180^\circ — \angle BAD — \angle ABD = 180^\circ — \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4} + \alpha \right) = 135^\circ — \frac{3\alpha}{4} \).
По теореме синусов:
\( \frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{AD}{\sin \angle ABD} \), значит
\( AD = \frac{AB \sin \alpha}{\sin \left(135^\circ — \frac{3\alpha}{4}\right)} = \frac{a \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \left(135^\circ — \frac{3\alpha}{4}\right)} \).
Рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), в котором \( AB = BC \), основание \( AC = a \), и угол при вершине \( B \) равен \( \alpha \). Нужно найти длину биссектрисы \( AD \), проведённой из вершины \( A \).
Поскольку треугольник равнобедренный с боковыми сторонами \( AB = BC \), углы при основании равны. Значит, углы при вершинах \( A \) и \( C \) равны и равны \( 90^\circ — \frac{\alpha}{2} \).
Биссектриса \( AD \) делит угол \( A \) пополам, поэтому каждый из углов \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равен \( 45^\circ — \frac{\alpha}{4} \).
Для нахождения длины стороны \( AB \) воспользуемся теоремой синусов в треугольнике \( ABC \). По теореме синусов:
\( \frac{AC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \angle C} \).
Подставляя известные значения, получаем:
\( AB = \frac{a \sin \left(90^\circ — \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \alpha} \).
Так как \( \sin \left(90^\circ — x\right) = \cos x \), то:
\( AB = \frac{a \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} \).
Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \). В этом треугольнике угол при вершине \( B \) равен \( \alpha \), а угол при вершине \( D \) равен:
\( 180^\circ — \angle BAD — \angle ABD = 180^\circ — \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4} + \alpha \right) = 135^\circ — \frac{3\alpha}{4} \).
Применим теорему синусов к треугольнику \( ABD \):
\( \frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{AD}{\sin \angle ABD} \).
Подставляя известные значения, получаем:
\( AD = \frac{AB \sin \alpha}{\sin \left(135^\circ — \frac{3\alpha}{4}\right)} \).
Подставим значение \( AB \):
\( AD = \frac{\frac{a \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} \cdot \sin \alpha}{\sin \left(135^\circ — \frac{3\alpha}{4}\right)} = \frac{a \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \left(135^\circ — \frac{3\alpha}{4}\right)} \).
