ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 104 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, пользуясь теоремой синусов, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, длины которых пропорциональны прилежащим сторонам.

Дано: \(AD\) — биссектриса угла \( \angle A \). Нужно доказать: \( \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Поскольку \(AD\) — биссектриса, то \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A \).

В треугольнике \( \triangle ABD \) по теореме синусов:
\( \frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{BD}{\sin \angle BAD} \), значит
\( \frac{BD}{AB} = \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle BDA} = \frac{\sin \frac{1}{2} \angle A}{\sin \angle BDA} \).

В треугольнике \( \triangle ACD \) по теореме синусов:
\( \frac{AC}{\sin \angle CDA} = \frac{CD}{\sin \angle CAD} \), значит
\( \frac{CD}{AC} = \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle CDA} = \frac{\sin \frac{1}{2} \angle A}{\sin \angle CDA} \).

Угол \( \angle CDA = 180^\circ — \angle BDA \), поэтому \( \sin \angle CDA = \sin \angle BDA \).

Отсюда
\( \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC} \).

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), в котором проведена биссектриса \( AD \) угла \( \angle A \). По определению биссектрисы, она делит угол \( \angle A \) на два равных угла, то есть угол \( \angle BAD \) равен углу \( \angle CAD \). Это можно записать как \( \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A \). Это важное свойство, которое позволяет нам использовать равенство этих углов в дальнейших рассуждениях.

Далее рассмотрим треугольник \( \triangle ABD \). В нем мы можем применить теорему синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Для треугольника \( \triangle ABD \) это выражается формулой:
\( \frac{AB}{\sin \angle BDA} = \frac{BD}{\sin \angle BAD} \).
Из этого равенства можно выразить отношение \( \frac{BD}{AB} \) как
\( \frac{BD}{AB} = \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle BDA} \).
Подставляя сюда равенство углов, получаем
\( \frac{BD}{AB} = \frac{\sin \frac{1}{2} \angle A}{\sin \angle BDA} \).
Таким образом, мы выразили отношение отрезков через синусы углов, связанных с биссектрисой.

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ACD \). Аналогично предыдущему треугольнику, применим теорему синусов:
\( \frac{AC}{\sin \angle CDA} = \frac{CD}{\sin \angle CAD} \).
Отсюда выразим отношение
\( \frac{CD}{AC} = \frac{\sin \angle CAD}{\sin \angle CDA} \).
Подставляя равенство углов \( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A \), получаем
\( \frac{CD}{AC} = \frac{\sin \frac{1}{2} \angle A}{\sin \angle CDA} \).
Обратите внимание, что углы \( \angle BDA \) и \( \angle CDA \) являются смежными углами на прямой \( BC \), то есть они в сумме дают \( 180^\circ \):
\( \angle CDA = 180^\circ — \angle BDA \).
Поскольку синус угла равен синусу его дополнительного угла, то
\( \sin \angle CDA = \sin \angle BDA \).
Подставляя это равенство в выражения для отношений отрезков, получаем
\( \frac{BD}{AB} = \frac{\sin \frac{1}{2} \angle A}{\sin \angle BDA} = \frac{\sin \frac{1}{2} \angle A}{\sin \angle CDA} = \frac{CD}{AC} \).
Таким образом, мы доказали, что отношение отрезков \( BD \) к \( AB \) равно отношению отрезков \( CD \) к \( AC \), что и требовалось.