ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 105 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Дано: \(BC = 9\), \(AD = 21\), \(BH = 8\).
\(AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{21 — 9}{2} = 6\).
\(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
\(\sin \angle A = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\).
\(\cos \angle A = \sqrt{1 — \sin^2 \angle A} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\).
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A = 10^2 + 21^2 — 2 \cdot 10 \cdot 21 \cdot \frac{3}{5} =\)
\(= 100 + 441 — 252 = 289\).
\(BD = \sqrt{289} = 17\).
\(R = \frac{BD}{2 \sin \angle A} = \frac{17}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{17}{\frac{8}{5}} = 17 \cdot \frac{5}{8} = \frac{85}{8}\).
Рассмотрим равнобокую трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC = 9\) см и \(AD = 21\) см, а также высотой \(BH = 8\) см, где \(H\) — проекция точки \(B\) на основание \(AD\). Чтобы найти радиус описанной окружности треугольника \(ABD\), сначала нужно понять, как связаны стороны и углы в этом треугольнике. Поскольку трапеция равнобокая, боковые стороны равны, и высота \(BH\) перпендикулярна основанию \(AD\).
Для начала найдём длину отрезка \(AH\). Он равен половине разности длин оснований, потому что \(H\) — проекция \(B\) на \(AD\), а трапеция равнобокая, значит отрезки \(AH\) и \(HD\) равны. Вычисляем: \(AH = \frac{AD — BC}{2} = \frac{21 — 9}{2} = 6\) см. Это длина горизонтального отрезка от точки \(A\) до точки \(H\).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\), где \(BH = 8\) см — высота, а \(AH = 6\) см — основание. По теореме Пифагора найдём боковую сторону \(AB\), которая является гипотенузой треугольника: \(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) см. Это важный шаг, так как \(AB\) — одна из сторон треугольника \(ABD\).
Далее вычислим синус угла \(A\) в треугольнике \(ABH\). Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть \(\sin \angle A = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\). Зная синус, найдём косинус угла \(A\) через формулу: \(\cos \angle A = \sqrt{1 — \sin^2 \angle A} = \sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\).
Теперь можно найти длину диагонали \(BD\) с помощью теоремы косинусов в треугольнике \(ABD\). Формула для стороны \(BD\) такова: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle A\). Подставим известные значения: \(BD^2 = 10^2 + 21^2 — 2 \cdot 10 \cdot 21 \cdot \frac{3}{5} = 100 + 441 — 252 = 289\). Значит, \(BD = \sqrt{289} = 17\) см.
Наконец, найдём радиус описанной окружности \(R\) треугольника \(ABD\). Формула для радиуса описанной окружности через сторону и угол: \(R = \frac{BD}{2 \sin \angle A}\). Подставим значения: \(R = \frac{17}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{17}{\frac{8}{5}} = 17 \cdot \frac{5}{8} = \frac{85}{8}\) см. Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{85}{8}\) см.
