ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 106 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \( CD \) — биссектриса треугольника \( ABC \), в котором \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \). Через точку \( D \) проведена прямая, параллельная стороне \( BC \) и пересекающая сторону \( AC \) в точке \( E \), причём \( AE = a \). Найдите отрезок \( CE \).
В трапеции \(CEDB\) угол \( \angle DEC = 180^\circ — \angle BCE\), а угол \( \angle DCE = \frac{1}{2} \angle BCE\) так как \(CD\) — биссектриса. В треугольнике \(DEC\) угол \( \angle CDE = 180^\circ — \angle DEC — \angle DCE = \frac{1}{2} \angle BCE\). Треугольник \(DEC\) равнобедренный, значит \(DE = CE\). Углы \( \angle ADE = \angle ABC = \beta\) — соответственные. В треугольнике \(ADE\) по теореме синусов \( \frac{DE}{\sin \alpha} = \frac{AE}{\sin \beta}\), откуда \(CE = DE = \frac{a \sin \alpha}{\sin \beta}\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\), в котором проведена биссектриса \(CD\). По определению, биссектриса делит угол \(C\) на два равных угла, то есть \( \angle ACD = \angle BCD \). Это важное свойство, которое будет использоваться далее. Пусть отрезок \(DE\) проведён так, что он параллелен стороне \(BC\), а точка \(E\) лежит на продолжении стороны \(AB\). По условию, длина отрезка \(AE\) равна \(a\), а углы при вершинах \(A\) и \(B\) обозначены как \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно.
Поскольку \(DE \parallel BC\), углы \( \angle ADE \) и \( \angle ABC \) являются соответственными углами, а значит равны, то есть \( \angle ADE = \beta \). Это следует из теории параллельных прямых и секущих. Теперь рассмотрим треугольник \(ADE\). В этом треугольнике известен угол при вершине \(A\), равный \(\alpha\), угол при вершине \(D\), равный \(\beta\), и сторона \(AE = a\). Применим теорему синусов, которая утверждает, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Для треугольника \(ADE\) это значит, что \( \frac{DE}{\sin \alpha} = \frac{AE}{\sin \beta} \). Из этого равенства выразим длину \(DE\):
\( DE = \frac{AE \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{a \sin \alpha}{\sin \beta} \).
Далее обратим внимание на треугольник \(CED\). Из-за того, что \(CD\) — биссектриса угла \(C\), угол \(C\) делится пополам, следовательно, \( \angle DCE = \frac{1}{2} \angle BCE \). Поскольку \(DE \parallel BC\), угол \( \angle DEC \) равен \(180^\circ — \angle BCE\) по свойству смежных углов при параллельных прямых. В треугольнике \(DEC\) сумма всех углов равна \(180^\circ\), значит угол \( \angle CDE \) вычисляется как
\( \angle CDE = 180^\circ — \angle DEC — \angle DCE = 180^\circ — (180^\circ — \angle BCE) — \frac{1}{2} \angle BCE= \)
\(= \frac{1}{2} \angle BCE \).
Таким образом, углы \( \angle DCE \) и \( \angle CDE \) равны, а значит треугольник \(DEC\) равнобедренный. Из этого следует, что стороны \(DE\) и \(CE\) равны:
\( CE = DE \).
Подставляя найденное ранее значение \(DE\), получаем окончательное выражение для \(CE\):
\( CE = \frac{a \sin \alpha}{\sin \beta} \).
Этот результат показывает, как длина отрезка \(CE\) связана с длиной \(AE\) и углами треугольника \(ABC\), используя свойства биссектрисы и параллельных прямых, а также теорему синусов.
