ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 107 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Медиана \( AM \) треугольника \( ABC \) равна \( m \) и образует со сторонами \( AB \) и \( AC \) углы \( \alpha \) и \( \beta \) соответственно. Найдите стороны \( AB \) и \( AC \).
Дано: \( AM \) — медиана, \( \angle MAB = \alpha \), \( \angle MAC = \beta \), \( AM = m \). Нужно найти \( AB \) и \( AC \).
Построим точку \( K \) так, что \( MK = AM = m \). Тогда \( ABKC \) — параллелограмм, значит \( CK = AB \).
В треугольнике \( ACK \):
\( AK = 2m \), \( \angle BAC = \alpha + \beta \), \( \sin \angle ACK = \sin(\alpha + \beta) \), \( \angle AKC = \alpha \), \( \angle CAK = \beta \).
По теореме синусов:
\( \frac{AK}{\sin \angle ACK} = \frac{CK}{\sin \angle CAK} = \frac{AC}{\sin \angle AKC} \).
Подставляем:
\( \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{AB}{\sin \beta} = \frac{AC}{\sin \alpha} \).
Ответ:
\( AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \),
\( AC = \frac{2m \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
В треугольнике \( ABC \) дана медиана \( AM \), где точка \( M \) — середина стороны \( BC \). Это означает, что отрезок \( BM \) равен отрезку \( MC \). Из условия известно, что угол между медианой \( AM \) и сторонами \( AB \) и \( AC \) равен соответственно \( \alpha \) и \( \beta \), а длина медианы \( AM \) равна \( m \). Чтобы найти длины сторон \( AB \) и \( AC \), воспользуемся геометрическим построением и теоремой синусов.
Для начала продлим медиану \( AM \) за точку \( M \) на такой же отрезок, как \( AM \), то есть построим точку \( K \) так, что \( MK = AM = m \). Таким образом, длина отрезка \( AK \) будет равна \( 2m \). Теперь рассмотрим четырёхугольник \( ABKC \). Поскольку \( M \) — середина \( BC \), а \( K \) построена так, что \( MK = AM \), то \( ABKC \) является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, значит \( CK = AB \) и \( BK = AC \). Это важное свойство, которое позволит нам связать стороны треугольника с известными величинами.
Далее рассмотрим треугольник \( ACK \). В этом треугольнике сторона \( AK = 2m \), а углы при вершинах \( A \), \( C \) и \( K \) связаны с углами \( \alpha \) и \( \beta \) из условия. Угол \( \angle BAC \) равен сумме углов \( \alpha + \beta \), так как \( \alpha \) и \( \beta \) — углы между медианой и сторонами \( AB \) и \( AC \) соответственно. В треугольнике \( ACK \) угол при вершине \( C \) равен \( \alpha + \beta \), угол при вершине \( A \) равен \( \beta \), а угол при вершине \( K \) равен \( \alpha \). По теореме синусов в треугольнике \( ACK \) справедливо равенство: \( \frac{AK}{\sin \angle ACK} = \frac{CK}{\sin \angle CAK} = \frac{AC}{\sin \angle AKC} \), где \( \angle ACK = \alpha + \beta \), \( \angle CAK = \beta \), \( \angle AKC = \alpha \).
Подставляя известные значения, получаем: \( \frac{2m}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{AB}{\sin \beta} = \frac{AC}{\sin \alpha} \). Отсюда выразим искомые стороны треугольника:
\( AB = \frac{2m \sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \),
\( AC = \frac{2m \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \).
Таким образом, мы нашли длины сторон \( AB \) и \( AC \) через длину медианы \( m \) и углы \( \alpha \) и \( \beta \), используя свойства параллелограмма и теорему синусов.
