ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 108 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Медиана \( CD \) треугольника \( ABC \) образует со сторонами \( AC \) и \( BC \) углы \( \alpha \) и \( \beta \) соответственно, \( BC = a \). Найдите медиану \( CD \).
Пусть \( K \) — точка на \( CD \), такая что \( KD = CD \). Тогда \( CBKA \) — параллелограмм, так как \( BD = AD \) и \( CD = KD \). Угол \( \angle BCA = \alpha + \beta \), \( AK = BC = a \), а угол \( \angle CAK = 180^\circ — (\alpha + \beta) \), значит \( \sin \angle CAK = \sin(\alpha + \beta) \). В треугольнике \( ACK \) по теореме синусов: \( \frac{CK}{\sin \angle CAK} = \frac{AK}{\sin \alpha} \), откуда \( CK = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha} \). Медиана \( CD = \frac{1}{2} CK = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha} \).
Рассмотрим треугольник \( ABC \) с медианой \( CD \), где \( D \) — середина стороны \( AB \). По определению медианы, отрезок \( CD \) соединяет вершину \( C \) с серединой противоположной стороны \( AB \), поэтому \( AD = DB \). Для решения задачи введём точку \( K \) на продолжении отрезка \( CD \) так, чтобы \( KD = CD \). Это значит, что отрезок \( CK \) в два раза длиннее \( CD \), то есть \( CK = 2 \cdot CD \).
Далее рассмотрим четырёхугольник \( CBKA \). По построению \( KD = CD \), а также известно, что \( AD = DB \), следовательно, отрезки \( CD \) и \( KD \) равны, а отрезки \( AD \) и \( DB \) тоже равны. Это значит, что противоположные стороны четырёхугольника \( CBKA \) равны, а значит, \( CBKA \) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \( AK = BC \). По условию \( BC = a \), значит \( AK = a \).
Теперь рассмотрим углы. Угол \( \angle BCA \) равен сумме углов \( \alpha + \beta \). Угол \( \angle CAK \) является дополнительным к углу \( \angle BCA \), так как точки \( A, C, K \) лежат на одной прямой с \( K \) на продолжении \( CD \). Значит, \( \angle CAK = 180^\circ — (\alpha + \beta) \). Известно, что \( \sin(180^\circ — x) = \sin x \), поэтому \( \sin \angle CAK = \sin(\alpha + \beta) \).
Рассмотрим треугольник \( ACK \). По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Значит,
\( \frac{CK}{\sin \angle CAK} = \frac{AK}{\sin \angle ACK} \).
Угол \( \angle ACK \) равен \( \alpha \), поэтому:
\( \frac{CK}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{a}{\sin \alpha} \).
Отсюда выразим \( CK \):
\( CK = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha} \).
Поскольку \( CD = \frac{1}{2} CK \), получаем окончательное выражение для медианы:
\( CD = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \alpha} \).
