ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 109 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высоты остроугольного треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( H \). Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников \( ANB \), \( BNC \), \( ANC \) и \( ABC \), равны.

1) В треугольнике \(ABC\) угол \(C = 180^\circ — A — B\).

Тогда \(\sin C = \sin(A + B)\).

Радиус описанной окружности:
\(R_{ABC} = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{AB}{2 \sin (A + B)}\).

2) В треугольнике \(AHB\):
\(\angle AA_1B = 90^\circ\), \(\angle BB_1A = 90^\circ\),

\(\angle BAH = 90^\circ — B\), \(\angle ABH = 90^\circ — A\),

\(\angle AHB = 180^\circ — \angle BAH — \angle ABH = A + B\).

Радиус описанной окружности:
\(R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin \angle AHB} = \frac{AB}{2 \sin (A + B)}\).

3) Аналогично:

\(R_{BHC} = \frac{BC}{2 \sin (B + C)}\),

\(R_{AHC} = \frac{AC}{2 \sin (A + C)}\).

По свойствам высот и ортоцентра все эти радиусы равны \(R_{ABC}\).

Что и требовалось доказать.

В треугольнике \(ABC\) высоты \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке \(H\), которая называется ортоцентром. Высоты перпендикулярны соответствующим сторонам, то есть \(AA_1 \perp BC\), \(BB_1 \perp AC\), \(CC_1 \perp AB\). Это важно, потому что при рассмотрении треугольников \(AHB\), \(BHC\), \(AHC\) мы будем использовать свойства прямых углов, образующихся при пересечении высот.

Рассмотрим сначала треугольник \(ABC\). Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\), значит угол \(C = 180^\circ — A — B\). Радиус описанной окружности треугольника \(ABC\) выражается через сторону \(AB\) и угол \(C\) формулой \(R_{ABC} = \frac{AB}{2 \sin C}\). Подставляя угол \(C\), получаем \(R_{ABC} = \frac{AB}{2 \sin (A + B)}\). Это ключевое выражение, к которому мы будем стремиться при рассмотрении других треугольников.

Теперь перейдем к треугольнику \(AHB\). Поскольку \(AA_1\) и \(BB_1\) — высоты, то углы \(AA_1B\) и \(BB_1A\) равны \(90^\circ\). В этом треугольнике углы при вершинах \(A\) и \(B\) можно выразить через исходные углы треугольника \(ABC\) как \(\angle BAH = 90^\circ — B\) и \(\angle ABH = 90^\circ — A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому угол \(AHB = 180^\circ — \angle BAH — \angle ABH = A + B\). Радиус описанной окружности треугольника \(AHB\) равен \(R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin \angle AHB} = \frac{AB}{2 \sin (A + B)}\), что совпадает с радиусом \(R_{ABC}\).

Аналогично для треугольников \(BHC\) и \(AHC\) можно показать, что их радиусы описанных окружностей равны. Радиус \(R_{BHC} = \frac{BC}{2 \sin (B + C)}\), а радиус \(R_{AHC} = \frac{AC}{2 \sin (A + C)}\). Из свойств ортоцентра и высот следует, что все эти радиусы совпадают с радиусом \(R_{ABC}\). Таким образом, доказано, что \(R_{AHB} = R_{BHC} = R_{AHC} = R_{ABC}\).