ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 11 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите:
1) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \); 2) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \); 3) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} \); 4) \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = -0,8 \); 5) \( \tan \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \) и \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \); 6) \( \cot \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \).

1) \( \cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \)
2) \( \cos \alpha = -\sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
3) \( \cos \alpha = \pm \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \pm \sqrt{1 — \frac{3}{16}} = \pm \sqrt{\frac{13}{16}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{4} \)
4) \( \sin \alpha = \pm \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 — (-0,8)^2} = \pm \sqrt{1 — 0,64} = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6 \)
5) \( \cos \alpha = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \)
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \)
6) \( \sin \alpha = \sqrt{1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \)
\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} \)

1) Дано, что \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), и угол \( \alpha \) острый, то есть находится в диапазоне от 0 до 90 градусов. Важно помнить, что для любого угла справедливо основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Это означает, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице. Зная значение синуса, можно найти косинус, подставив значение синуса в это уравнение.

Подставим \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) в уравнение: \( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \). Теперь найдём \( \cos \alpha \), взяв квадратный корень: \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \). Так как угол острый, косинус положителен, поэтому \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \).

2) Дано, что \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \), и угол \( \alpha \) находится во второй четверти, то есть между 90 и 180 градусами. В этой области синус положителен, а косинус отрицателен. Это связано с тем, что во второй четверти ось \( x \) отрицательна, а ось \( y \) положительна.

Используем то же основное тождество: \( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \). Теперь берём квадратный корень, учитывая знак косинуса: \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \). Таким образом, \( \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \).

3) Дано \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} \), но информация о четверти отсутствует, поэтому косинус может быть как положительным, так и отрицательным. Снова используем тождество: \( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 — \frac{3}{16} = \frac{13}{16} \).

Берём квадратный корень: \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{13}{16}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{4} \). Знак зависит от положения угла на координатной плоскости.

4) Дано, что \( \cos \alpha = -0,8 \). Для нахождения \( \sin \alpha \) используем тождество: \( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha = 1 — (-0,8)^2 = 1 — 0,64 = 0,36 \).

Берём квадратный корень: \( \sin \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6 \). Знак синуса зависит от четверти, в которой находится угол.

5) Дано, что \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \), угол во второй четверти. Найдём косинус: \( \cos \alpha = -\sqrt{1 — \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \).

Теперь найдём тангенс: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \).

6) Дано, что \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \), угол острый. Найдём синус: \( \sin \alpha = \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 — \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 — \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \).

Найдём котангенс: \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} \).