ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 110 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дороги, соединяющие сёла \( A \), \( B \) и \( C \) (рис. 22), образуют треугольник, причём дорога из села \( A \) в село \( C \) заасфальтирована, а дороги из села \( A \) в село \( B \) и из села \( B \) в село \( C \) — грунтовые. Дороги, ведущие из села \( A \) в сёла \( B \) и \( C \), образуют угол \( 15^\circ \), а дороги, ведущие из села \( B \) в сёла \( A \) и \( C \), — угол \( 5^\circ \). Скорость движения автомобиля по асфальтированной дороге в 2 раза больше скорости движения по грунтовой. Какой маршрут надо выбрать водителю автомобиля, чтобы как можно скорее добраться из села \( A \) в село \( B \)?
Дано: \( \angle A = 15^\circ \), \( \angle B = 5^\circ \), \( AB = a \).
Вычислим угол \( C \): \( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 15^\circ — 5^\circ = 160^\circ \).
По теореме синусов:
\( AC = \frac{AB \cdot \sin \angle B}{\sin \angle C} = a \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} \approx 0,2548a \),
\( BC = \frac{AB \cdot \sin \angle A}{\sin \angle C} = a \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} \approx 0,7567a \).
Время пути:
\( t_{AB} = \frac{a}{v} \) (грунтовая дорога),
\( t_{ACB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{0,2548a}{2v} + \frac{0,7567a}{v} = \frac{0,1274a + 0,7567a}{v} = \frac{0,8841a}{v} \).
Ответ: лучше ехать через село \( C \), потому что \( t_{ACB} < t_{AB} \).
В задаче нам даны три села \( A \), \( B \) и \( C \), и известно, что угол между дорогами из села \( A \) в сёла \( B \) и \( C \) равен \( 15^\circ \), а угол между дорогами из села \( B \) в сёла \( A \) и \( C \) равен \( 5^\circ \). Также известно, что дорога из села \( A \) в село \( C \) асфальтированная, поэтому по ней можно ехать в два раза быстрее, чем по грунтовым дорогам из \( A \) в \( B \) и из \( B \) в \( C \). Нужно понять, какой путь из села \( A \) в село \( B \) будет быстрее: прямой или через село \( C \).
Для начала найдем третий угол треугольника \( ABC \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), значит угол в точке \( C \) равен \( 180^\circ — 15^\circ — 5^\circ = 160^\circ \). Теперь мы можем применить теорему синусов, которая говорит, что длины сторон треугольника пропорциональны синусам противоположных углов. Обозначим длину стороны \( AB \) через \( a \). Тогда:
\( AC = \frac{AB \cdot \sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} = a \cdot \frac{\sin 5^\circ}{\sin 160^\circ} \approx 0,2548a \),
\( BC = \frac{AB \cdot \sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} = a \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 160^\circ} \approx 0,7567a \).
Теперь посчитаем время, которое потребуется на проезд по разным маршрутам. Пусть скорость по грунтовой дороге равна \( v \), тогда скорость по асфальтированной дороге будет в два раза больше, то есть \( 2v \). Время, чтобы проехать прямой путь \( AB \), равно \( t_{AB} = \frac{a}{v} \). Время пути через село \( C \) состоит из двух частей: время на дорогу \( AC \), которая асфальтированная, и время на дорогу \( BC \), которая грунтовая. Тогда:
\( t_{ACB} = \frac{AC}{2v} + \frac{BC}{v} = \frac{0,2548a}{2v} + \frac{0,7567a}{v} = \frac{0,1274a + 0,7567a}{v} = \frac{0,8841a}{v} \).
Сравнивая два времени, видим, что \( t_{ACB} = 0,8841 \cdot t_{AB} \), то есть время пути через село \( C \) меньше, чем время прямого пути. Значит, чтобы добраться из села \( A \) в село \( B \) быстрее, нужно ехать через село \( C \).
