ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 111 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дороги из сёл \( A \) и \( B \) сходятся у развилки \( C \) (рис. 23). Дорога из села \( A \) до развилки образует с дорогой из села \( A \) в село \( B \) угол \( 30^\circ \), а дорога из села \( B \) до развилки образует с дорогой из села \( B \) в село \( A \) угол \( 70^\circ \). Одновременно из села \( A \) в направлении развилки выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч, а из села \( B \) — автобус со скоростью 60 км/ч. Автомобиль или автобус первым доедет до развилки?

Дано: \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), скорости \( v_A = 90 \) км/ч, \( v_B = 60 \) км/ч. Пусть \( AB = a \).

Найдем угол \( C \): \( \angle C = 180^\circ — 30^\circ — 70^\circ = 80^\circ \).

По теореме синусов:
\( AC = \frac{a \cdot \sin 70^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 0{,}9542a \),
\( BC = \frac{a \cdot \sin 30^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 0{,}5077a \).

Время в пути:
\( t_A = \frac{AC}{v_A} = \frac{0{,}9542a}{90} \approx 0{,}0106a \),
\( t_B = \frac{BC}{v_B} = \frac{0{,}5077a}{60} \approx 0{,}0085a \).

Так как \( t_B < t_A \), то автобус приедет первым.

Ответ: автобус.

Дано два села \( A \) и \( B \), между которыми есть дорога длиной \( a \). Из каждого села в сторону развилки \( C \) выезжают транспортные средства: из \( A \) автомобиль со скоростью \( 90 \) км/ч, из \( B \) автобус со скоростью \( 60 \) км/ч. Угол при селе \( A \) равен \( 30^\circ \), при селе \( B \) — \( 70^\circ \). Нужно определить, кто быстрее доедет до развилки \( C \).

Сначала найдём угол при развилке \( C \). В треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \), значит,
\( \angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 30^\circ — 70^\circ = 80^\circ \).
Теперь у нас есть три угла треугольника: \( 30^\circ, 70^\circ \) и \( 80^\circ \).

Далее используем теорему синусов, которая говорит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
\( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \).
Пусть \( AB = a \). Тогда длины путей от сел до развилки:
\( AC = \frac{a \cdot \sin 70^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 0{,}9542a \),
\( BC = \frac{a \cdot \sin 30^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 0{,}5077a \).

Для того чтобы понять, кто приедет раньше, найдём время в пути для каждого транспортного средства. Время равно расстоянию, делённому на скорость:
\( t_A = \frac{AC}{v_A} = \frac{0{,}9542a}{90} \approx 0{,}0106a \),
\( t_B = \frac{BC}{v_B} = \frac{0{,}5077a}{60} \approx 0{,}0085a \).

Поскольку \( t_B < t_A \), автобус из села \( B \) доедет до развилки \( C \) быстрее, чем автомобиль из села \( A \).

Ответ: автобус.