ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 112 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектрисы углов \( B \) и \( C \) прямоугольника \( ABCD \) пересекают сторону \( AD \) в точках \( M \) и \( K \) соответственно. Докажите, что \( BM = CK \).
В прямоугольнике \(ABCD\) все углы равны \(90^\circ\). Биссектриса угла \(B\) делит угол \(90^\circ\) пополам, значит \(\angle ABM = \frac{1}{2} \angle B = 45^\circ\). Аналогично биссектриса угла \(C\) даёт \(\angle DCK = \frac{1}{2} \angle C = 45^\circ\). Противоположные стороны прямоугольника равны, то есть \(AB = CD\). Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(DCK\). В них \(\angle A = \angle D = 90^\circ\), \(AB = CD\), и углы при вершинах \(B\) и \(C\) равны \(45^\circ\). Значит треугольники равны по признаку катет и острый угол, следовательно \(BM = CK\). Что и требовалось доказать.
В прямоугольнике \(ABCD\) все углы равны \(90^\circ\), это значит, что каждый угол — прямой. Рассмотрим угол \(B\). По условию, \(BM\) — биссектриса угла \(B\), то есть она делит угол \(B\) пополам. Поскольку угол \(B\) равен \(90^\circ\), то угол \(ABM\), образованный биссектрисой, равен \(frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ\). Аналогично, биссектриса угла \(C\), линия \(CK\), делит угол \(C\), который также равен \(90^\circ\), пополам, и угол \(DCK\) тоже равен \(45^\circ\).
Теперь рассмотрим стороны прямоугольника. В прямоугольнике противоположные стороны равны, то есть \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Мы сосредоточимся на сторонах \(AB\) и \(CD\), так как точки \(M\) и \(K\) лежат на стороне \(AD\). Это важно, потому что мы можем рассматривать треугольники \(ABM\) и \(DCK\), в которых одна сторона и два угла совпадают по величине. В треугольнике \(ABM\) угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ\), а угол при вершине \(B\) делится биссектрисой на два угла по \(45^\circ\). Аналогично, в треугольнике \(DCK\) угол при вершине \(D\) равен \(90^\circ\), а угол при вершине \(C\) делится биссектрисой на два угла по \(45^\circ\).
Таким образом, треугольники \(ABM\) и \(DCK\) имеют равные углы: \(\angle A = \angle D = 90^\circ\) и \(\angle ABM = \angle DCK = 45^\circ\), а также равные прилежащие стороны \(AB = CD\). По признаку равенства треугольников, который гласит, что если у двух треугольников равен один катет и прилежащий к нему острый угол, то такие треугольники равны, получаем, что треугольники \(ABM\) и \(DCK\) равны. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны, то есть \(BM = CK\).
