ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 114 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На стороне \( AB \) квадрата \( ABCD \) отметили точку \( K \), а на стороне \( CD \) — точку \( M \) так, что \( AK : KB = 1 : 2 \), \( DM : MC = 3 : 1 \). Найдите сторону квадрата, если \( MK = 13 \) см.
Дано: квадрат \(ABCD\), \(AK : KB = 1 : 2\), \(DM : MC = 3 : 1\), \(MK = 13\) см. Найти \(AB\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда \(AK = \frac{1}{3}a\), \(DM = \frac{3}{4}a\).
Координаты: \(K \left(\frac{1}{3}a, 0\right)\), \(M \left(\frac{3}{4}a, a\right)\).
Расстояние \(MK = 13\):
\(MK^2 = \left(\frac{3}{4}a — \frac{1}{3}a\right)^2 + (a — 0)^2\)
\(13^2 = \left(\frac{9}{12}a — \frac{4}{12}a\right)^2 + a^2\)
\(169 = \left(\frac{5}{12}a\right)^2 + a^2 = \frac{25}{144}a^2 + a^2 = \frac{25}{144}a^2 + \frac{144}{144}a^2 = \frac{169}{144}a^2\)
Умножаем обе части на \(\frac{144}{169}\):
\(a^2 = 144\)
\(a = 12\) см.
Пусть сторона квадрата \(ABCD\) равна \(a\). Нам известно, что точка \(K\) делит сторону \(AB\) в отношении \(1 : 2\), то есть \(AK\) равна одной трети стороны, а \(KB\) — двум третям. Значит, длина отрезка \(AK\) равна \( \frac{1}{3}a \). Аналогично, точка \(M\) делит сторону \(CD\) в отношении \(3 : 1\), то есть \(DM\) равна трём четвертям стороны, а \(MC\) — одной четверти. Значит, длина \(DM\) равна \( \frac{3}{4}a \).
Чтобы упростить вычисления, расположим квадрат на координатной плоскости так, что точка \(A\) будет в начале координат \( (0,0) \), \(B\) — в точке \( (a,0) \), \(C\) — в точке \( (a,a) \), а \(D\) — в точке \( (0,a) \). Тогда координаты точки \(K\), которая находится на стороне \(AB\), будут \( \left( \frac{1}{3}a, 0 \right) \), так как она отстоит от \(A\) на одну треть длины стороны. Точка \(M\), лежащая на стороне \(CD\), будет иметь координаты \( \left( \frac{3}{4}a, a \right) \), так как она находится на расстоянии трёх четвертей стороны от точки \(D\) по оси \(x\), при этом координата по оси \(y\) равна \(a\), так как \(CD\) параллельна оси \(x\) на высоте \(a\).
Длина отрезка \(MK\) равна 13 см. Расстояние между точками \(K\) и \(M\) на плоскости вычисляется по формуле расстояния: \( MK = \sqrt{(x_M — x_K)^2 + (y_M — y_K)^2} \). Подставляем координаты: \( MK = \sqrt{\left( \frac{3}{4}a — \frac{1}{3}a \right)^2 + (a — 0)^2} \). Считаем разность по оси \(x\): \( \frac{3}{4}a — \frac{1}{3}a = \frac{9}{12}a — \frac{4}{12}a = \frac{5}{12}a \). Значит, \( MK = \sqrt{\left( \frac{5}{12}a \right)^2 + a^2} = 13 \).
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( 13^2 = \left( \frac{5}{12}a \right)^2 + a^2 \). Это даёт \( 169 = \frac{25}{144}a^2 + a^2 \). Приводим к общему знаменателю: \( 169 = \frac{25}{144}a^2 + \frac{144}{144}a^2 = \frac{169}{144}a^2 \). Умножаем обе части уравнения на \( \frac{144}{169} \), получаем \( a^2 = 144 \). Извлекаем корень: \( a = 12 \). Значит, длина стороны квадрата равна 12 см.
