ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 115 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам \( a = 7 \) см и \( b = 35 \) см;

2) по гипотенузе \( c = 17 \) см и катету \( a = 8 \) см;

3) по гипотенузе \( c = 4 \) см и острому углу \( \alpha = 50^\circ \);

4) по катету \( a = 8 \) см и противолежащему углу \( \alpha = 42^\circ \).

1) \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 35^2} = \sqrt{49 + 1225} = 35{,}7\) см;
\(\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{7}{35{,}7} \approx 0{,}1961\), \(\alpha \approx 11^\circ\);
\(\gamma = 90^\circ\), \(\beta = 90^\circ — 11^\circ = 79^\circ\).

2) \(b = \sqrt{c^2 — a^2} = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = 15\) см;
\(\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \approx 0{,}4706\), \(\alpha \approx 28^\circ\);
\(\gamma = 90^\circ\), \(\beta = 90^\circ — 28^\circ = 62^\circ\).

3) \(a = c \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \sin 50^\circ = 3{,}1\) см;
\(b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos 50^\circ = 2{,}6\) см;
\(\gamma = 90^\circ\), \(\beta = 90^\circ — 50^\circ = 40^\circ\).

4) \(c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{8}{\sin 42^\circ} \approx 12\) см;
\(b = c \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \cos 42^\circ = 8{,}9\) см;
\(\gamma = 90^\circ\), \(\beta = 90^\circ — 42^\circ = 48^\circ\).

1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, напротив прямого угла. Чтобы найти гипотенузу \(c\), когда известны катеты \(a = 7\) см и \(b = 35\) см, используем теорему Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Подставляем числа: \(c = \sqrt{7^2 + 35^2} = \sqrt{49 + 1225} = \sqrt{1274}\). Корень из 1274 примерно равен 35,7 см, значит, гипотенуза около 35,7 см.

Далее нужно найти угол \(\alpha\), который лежит напротив катета \(a\). Для этого применяем определение синуса угла в треугольнике: \(\sin \alpha = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\). Подставляем значения: \(\sin \alpha = \frac{7}{35{,}7} \approx 0{,}1961\). Чтобы найти угол \(\alpha\), нужно определить арксинус этого числа, что примерно равно 11 градусам.

Так как один угол прямой (\(90^\circ\)), а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), находим третий угол \(\beta = 90^\circ — \alpha = 79^\circ\). Итог: гипотенуза \(c \approx 35{,}7\) см, углы \(\alpha \approx 11^\circ\) и \(\beta \approx 79^\circ\).

2) Известна гипотенуза \(c = 17\) см и катет \(a = 8\) см. Чтобы найти второй катет \(b\), снова используем теорему Пифагора: \(b = \sqrt{c^2 — a^2}\). Подставляем: \(b = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15\) см.

Теперь найдём угол \(\alpha\), напротив катета \(a\). Снова используем формулу синуса: \(\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \approx 0{,}4706\). Арксинус этого числа равен примерно 28 градусам.

Угол \(\beta\) находим вычитанием из \(90^\circ\): \(\beta = 90^\circ — 28^\circ = 62^\circ\). Таким образом, второй катет равен 15 см, а углы — 28 и 62 градуса.

3) Даны гипотенуза \(c = 4\) см и угол \(\alpha = 50^\circ\). Чтобы найти катет \(a\), лежащий напротив угла \(\alpha\), используем формулу: \(a = c \cdot \sin \alpha\). Считаем: \(a = 4 \cdot \sin 50^\circ\). Значение \(\sin 50^\circ\) примерно 0,766, значит \(a \approx 3{,}1\) см.

Чтобы найти другой катет \(b\), прилежащий к углу \(\alpha\), используем косинус: \(b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos 50^\circ\). Косинус 50 градусов примерно 0,643, значит \(b \approx 2{,}6\) см.

Третий угол \(\beta = 90^\circ — 50^\circ = 40^\circ\). Таким образом, катеты равны примерно 3,1 см и 2,6 см, углы — 50 и 40 градусов.

4) Известен катет \(a = 8\) см и угол \(\alpha = 42^\circ\). Чтобы найти гипотенузу \(c\), применяем формулу: \(c = \frac{a}{\sin \alpha}\). Значение \(\sin 42^\circ\) примерно 0,6691, значит \(c = \frac{8}{0{,}6691} \approx 12\) см.

Чтобы найти второй катет \(b\), используем косинус: \(b = c \cdot \cos \alpha = 12 \cdot \cos 42^\circ\). Косинус 42 градусов около 0,7431, значит \(b \approx 8{,}9\) см.

Угол \(\beta = 90^\circ — 42^\circ = 48^\circ\). Итого гипотенуза около 12 см, второй катет около 8,9 см, углы 42 и 48 градусов.