ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 116 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) \( a = 10 \) см, \( \beta = 20^\circ \), \( \gamma = 85^\circ \);

2) \( b = 16 \) см, \( \alpha = 40^\circ \), \( \beta = 110^\circ \).

1) \( \alpha = 180^\circ — 20^\circ — 85^\circ = 75^\circ \)
\( b = \frac{10 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.3420}{0.9659} \approx 3.5 \, \text{см} \)
\( c = \frac{10 \cdot \sin 85^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.9962}{0.9659} \approx 10.3 \, \text{см} \)

2) \( \gamma = 180^\circ — 40^\circ — 110^\circ = 30^\circ \)
\( a = \frac{16 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ} \approx \frac{16 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx 10.9 \, \text{см} \)
\( c = \frac{16 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 110^\circ} \approx \frac{16 \cdot 0.5}{0.9397} \approx 8.5 \, \text{см} \)

В первом случае нам даны сторона \( a = 10 \) см и углы \( \beta = 20^\circ \) и \( \gamma = 85^\circ \). Чтобы найти третий угол \( \alpha \), нужно помнить, что сумма углов треугольника всегда равна \( 180^\circ \). Значит, \( \alpha = 180^\circ — \beta — \gamma = 180^\circ — 20^\circ — 85^\circ = 75^\circ \). Теперь, используя теорему синусов, которая говорит, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны, можно найти остальные стороны. Формула выглядит так: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \).

Подставим известные данные, чтобы найти сторону \( b \). По формуле получаем \( b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} \). Подставляем числа: \( b = \frac{10 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 75^\circ} \). Значения синусов можно взять из таблицы или калькулятора: \( \sin 20^\circ \approx 0.3420 \), \( \sin 75^\circ \approx 0.9659 \). Тогда \( b \approx \frac{10 \cdot 0.3420}{0.9659} \approx 3.5 \) см. Аналогично найдём сторону \( c \) по формуле \( c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha} \). Подставляем: \( c = \frac{10 \cdot \sin 85^\circ}{\sin 75^\circ} \), где \( \sin 85^\circ \approx 0.9962 \). Получаем \( c \approx \frac{10 \cdot 0.9962}{0.9659} \approx 10.3 \) см.

Во втором случае даны сторона \( b = 16 \) см и углы \( \alpha = 40^\circ \), \( \beta = 110^\circ \). Сначала найдём третий угол \( \gamma \), используя правило суммы углов: \( \gamma = 180^\circ — \alpha — \beta = 180^\circ — 40^\circ — 110^\circ = 30^\circ \). Теперь найдём сторону \( a \) по формуле теоремы синусов: \( a = \frac{b \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} \). Подставляем значения: \( a = \frac{16 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ} \). Значения синусов: \( \sin 40^\circ \approx 0.6428 \), \( \sin 110^\circ \approx 0.9397 \). Значит, \( a \approx \frac{16 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx 10.9 \) см. Аналогично найдём сторону \( c \): \( c = \frac{b \cdot \sin \gamma}{\sin \beta} \), подставляем: \( c = \frac{16 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 110^\circ} \), где \( \sin 30^\circ = 0.5 \), получаем \( c \approx \frac{16 \cdot 0.5}{0.9397} \approx 8.5 \) см.