ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 117 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите треугольник по стороне и двум углам:

1) \( b = 9 \) см, \( \alpha = 35^\circ \), \( \gamma = 70^\circ \);

2) \( c = 14 \) см, \( \beta = 132^\circ \), \( \gamma = 24^\circ \).

1) \( b = 9 \) см, \( \alpha = 35^\circ \), \( \gamma = 70^\circ \)

\( \beta = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ \)

\( a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0{,}574}{0{,}966} \approx 5{,}3 \) см

\( c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0{,}940}{0{,}966} \approx 8{,}8 \) см

2) \( c = 14 \) см, \( \beta = 132^\circ \), \( \gamma = 24^\circ \)

\( \alpha = 180^\circ — 132^\circ — 24^\circ = 24^\circ \)

\( a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{14 \cdot \sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = 14 \) см

\( b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{14 \cdot \sin 132^\circ}{\sin 24^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0{,}743}{0{,}407} \approx 25{,}6 \) см
1) \( b = 9 \) см, \( \alpha = 35^\circ \), \( \gamma = 70^\circ \)
\( \beta = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ \)
\( a = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0{,}574}{0{,}966} \approx 5{,}3 \) см
\( c = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0{,}940}{0{,}966} \approx 8{,}8 \) см

2) \( c = 14 \) см, \( \beta = 132^\circ \), \( \gamma = 24^\circ \)
\( \alpha = 180^\circ — 132^\circ — 24^\circ = 24^\circ \)
\( a = \frac{14 \cdot \sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} = 14 \) см
\( b = \frac{14 \cdot \sin 132^\circ}{\sin 24^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0{,}743}{0{,}407} \approx 25{,}6 \) см

1) Дано: сторона \( b = 9 \) см и углы \( \alpha = 35^\circ \), \( \gamma = 70^\circ \). Сначала найдем третий угол треугольника, так как сумма углов в треугольнике всегда равна \( 180^\circ \). Для этого вычтем известные углы из \( 180^\circ \): \( \beta = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ \). Теперь мы знаем все углы и одну сторону, что позволяет применить теорему синусов. Теорема синусов говорит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника.

Далее, чтобы найти сторону \( a \), используем формулу \( a = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} \). Подставляем числа: \( a = \frac{9 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 75^\circ} \). Значения синусов можно найти с помощью калькулятора или таблицы: \( \sin 35^\circ \approx 0{,}574 \), \( \sin 75^\circ \approx 0{,}966 \). Тогда \( a \approx \frac{9 \cdot 0{,}574}{0{,}966} \approx 5{,}3 \) см. Аналогично находим сторону \( c \) по формуле \( c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} \), подставляя: \( c = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \). Значения синусов: \( \sin 70^\circ \approx 0{,}940 \), \( \sin 75^\circ \approx 0{,}966 \). Получаем \( c \approx \frac{9 \cdot 0{,}940}{0{,}966} \approx 8{,}8 \) см.

2) Дано: сторона \( c = 14 \) см и углы \( \beta = 132^\circ \), \( \gamma = 24^\circ \). Сначала найдем третий угол \( \alpha \) по формуле \( \alpha = 180^\circ — \beta — \gamma \), то есть \( \alpha = 180^\circ — 132^\circ — 24^\circ = 24^\circ \). Теперь, зная все углы и сторону \( c \), применим теорему синусов для нахождения других сторон. Сторону \( a \) находим по формуле \( a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} \). Подставляем числа: \( a = \frac{14 \cdot \sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} \). Поскольку синусы одинаковы, получаем \( a = 14 \) см.

Для стороны \( b \) используем формулу \( b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} \). Подставляем: \( b = \frac{14 \cdot \sin 132^\circ}{\sin 24^\circ} \). Значения синусов: \( \sin 132^\circ \approx 0{,}743 \), \( \sin 24^\circ \approx 0{,}407 \). Тогда \( b \approx \frac{14 \cdot 0{,}743}{0{,}407} \approx 25{,}6 \) см. Таким образом, мы нашли все стороны треугольника, используя известные углы и одну сторону, и применив теорему синусов, которая является основным инструментом для решения таких задач.