ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 118 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:
1) \( b = 18 \) см, \( c = 22 \) см, \( \alpha = 76^\circ \);
2) \( a = 20 \) см, \( b = 15 \) см, \( \gamma = 104^\circ \).
\(a = \sqrt{b^2 + c^2 — 2bc \cdot \cos \alpha} = \sqrt{18^2 + 22^2 — 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot \cos 76^\circ} =\)
\(= \sqrt{324 + 484 — 792 \cdot 0.24} = \sqrt{808 — 190.08} = \sqrt{617.92} \approx 24.8 \text{ см}\)
\(\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{18 \sin 76^\circ}{24.8} = \frac{18 \cdot 0.97}{24.8} \approx 0.7042, \quad \beta \approx 45^\circ\)
\(\gamma = 180^\circ — 76^\circ — 45^\circ = 59^\circ\)
\(c = \sqrt{a^2 + b^2 — 2ab \cdot \cos \gamma} = \sqrt{20^2 + 15^2 — 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot \cos 104^\circ} =\)
\(= \sqrt{400 + 225 — 600 \cdot (-0.24)} = \sqrt{625 + 144} = \sqrt{769} \approx 27.8 \text{ см}\)
\(\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{20 \sin 104^\circ}{27.8} = \frac{20 \cdot 0.97}{27.8} \approx 0.6981, \quad \alpha \approx 44^\circ\)
\(\beta = 180^\circ — 104^\circ — 44^\circ = 32^\circ\)
Для нахождения стороны \(a\) в первом треугольнике используем теорему косинусов. Эта теорема говорит, что квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем формулу: \(a = \sqrt{b^{2} + c^{2} — 2bc \cdot \cos \alpha}\). Подставим данные: \(b = 18\), \(c = 22\), угол \(\alpha = 76^\circ\). Сначала вычислим косинус угла: \(\cos 76^\circ \approx 0.24\). Теперь считаем: \(a = \sqrt{18^{2} + 22^{2} — 2 \cdot 18 \cdot 22 \cdot 0.24} = \sqrt{324 + 484 — 190.08} =\)
\(= \sqrt{617.92} \approx 24.8\) см. Так мы нашли сторону \(a\).
Далее найдем угол \(\beta\) с помощью теоремы синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Значит, \(\frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha}\). Отсюда \(\sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a}\). Подставим значения: \(b = 18\), \(a = 24.8\), \(\sin 76^\circ \approx 0.97\). Получаем \(\sin \beta = \frac{18 \cdot 0.97}{24.8} \approx 0.704\). Теперь найдем угол \(\beta\), взяв арксинус: \(\beta \approx 45^\circ\).
Чтобы найти третий угол \(\gamma\), используем свойство треугольника, что сумма углов равна \(180^\circ\). Значит, \(\gamma = 180^\circ — \alpha — \beta = 180^\circ — 76^\circ — 45^\circ = 59^\circ\). Таким образом, для первого треугольника получаем: \(a \approx 24.8\) см, \(\beta \approx 45^\circ\), \(\gamma \approx 59^\circ\).
Для второго треугольника сначала найдем сторону \(c\) по теореме косинусов. Формула: \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2} — 2ab \cdot \cos \gamma}\). Подставим данные: \(a = 20\), \(b = 15\), угол \(\gamma = 104^\circ\). Вычислим косинус: \(\cos 104^\circ \approx -0.24\). Тогда \(c = \sqrt{20^{2} + 15^{2} — 2 \cdot 20 \cdot 15 \cdot (-0.24)} = \sqrt{400 + 225 + 144} = \sqrt{769} \approx 27.8\) см.
Далее найдем угол \(\alpha\) с помощью теоремы синусов: \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}\), откуда \(\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c}\). Подставим значения: \(a = 20\), \(c = 27.8\), \(\sin 104^\circ \approx 0.97\). Получаем \(\sin \alpha = \frac{20 \cdot 0.97}{27.8} \approx 0.698\), значит, \(\alpha \approx 44^\circ\).
Последний угол \(\beta\) находим по сумме углов: \(\beta = 180^\circ — \gamma — \alpha = 180^\circ — 104^\circ — 44^\circ = 32^\circ\). Итог для второго треугольника: \(c \approx 27.8\) см, \(\alpha \approx 44^\circ\), \(\beta \approx 32^\circ\).
