ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 119 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними:
1) \( a = 8 \) см, \( c = 6 \) см, \( \beta = 15^\circ \);
2) \( b = 7 \) см, \( c = 5 \) см, \( \alpha = 145^\circ \).

1) \( a=8 \), \( c=6 \), \( \beta=15^\circ \)
\( b = \sqrt{a^2 + c^2 — 2ac \cos \beta} = \sqrt{8^2 + 6^2 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 15^\circ} = \)
\(=\sqrt{64 + 36 — 96 \cdot 0.9659} = \sqrt{100 — 92.7} = \sqrt{7.3} \approx 2.7 \)
\( \sin \alpha =\)
\(= \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{8 \cdot \sin 15^\circ}{2.7} = \frac{8 \cdot 0.2588}{2.7} = 0.767 \)
\( \alpha \approx 130^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ — 15^\circ — 130^\circ = 35^\circ \)

2) \( b=7 \), \( c=5 \), \( \alpha=145^\circ \)
\( a = \sqrt{b^2 + c^2 — 2bc \cos \alpha} = \sqrt{7^2 + 5^2 — 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 145^\circ} =\)
\(= \sqrt{49 + 25 — 70 \cdot (-0.819)} = \sqrt{74 + 57.3} = \sqrt{131.3} \approx 11.5 \)
\( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{7 \cdot \sin 145^\circ}{11.5} = \frac{7 \cdot 0.574}{11.5} = 0.349 \)
\( \beta \approx 20^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ — 145^\circ — 20^\circ = 15^\circ \)
1) \( a=8 \), \( c=6 \), \( \beta=15^\circ \)
\( b = \sqrt{a^2 + c^2 — 2ac \cos \beta} = \sqrt{8^2 + 6^2 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 15^\circ}=\)
\( = \sqrt{64 + 36 — 96 \cdot 0.9659} = \sqrt{100 — 92.7} = \sqrt{7.3} \approx 2.7 \)
\( \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{8 \cdot \sin 15^\circ}{2.7} = \frac{8 \cdot 0.2588}{2.7} = 0.767 \)
\( \alpha \approx 130^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ — 15^\circ — 130^\circ = 35^\circ \)

2) \( b=7 \), \( c=5 \), \( \alpha=145^\circ \)
\( a = \sqrt{b^2 + c^2 — 2bc \cos \alpha} = \sqrt{7^2 + 5^2 — 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 145^\circ} =\)
\(= \sqrt{49 + 25 — 70 \cdot (-0.819)} = \sqrt{74 + 57.3} = \sqrt{131.3} \approx 11.5 \)
\( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{7 \cdot \sin 145^\circ}{11.5} = \frac{7 \cdot 0.574}{11.5} = 0.349 \)
\( \beta \approx 20^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ — 145^\circ — 20^\circ = 15^\circ \)

1) В первом треугольнике нам даны две стороны \( a = 8 \) см и \( c = 6 \) см, а также угол между ними \( \beta = 15^\circ \). Чтобы найти третью сторону \( b \), используем теорему косинусов, которая звучит так: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае это будет \( b = \sqrt{a^2 + c^2 — 2ac \cos \beta} \). Подставляем числа: \( b = \sqrt{8^2 + 6^2 — 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 15^\circ} \). Считаем значения: \( 8^2 = 64 \), \( 6^2 = 36 \), косинус 15 градусов примерно равен 0.9659. Тогда \( b = \sqrt{64 + 36 — 96 \cdot 0.9659} = \sqrt{100 — 92.7} = \sqrt{7.3} \approx 2.7 \) см.

Теперь, чтобы найти угол \( \alpha \), который находится напротив стороны \( a \), применим закон синусов. Он говорит, что отношение синуса угла к длине противоположной стороны одинаково для всех углов и сторон треугольника. Значит, \( \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} \), откуда \( \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} \). Подставляем: \( \sin \alpha = \frac{8 \cdot \sin 15^\circ}{2.7} \). Синус 15 градусов примерно 0.2588, значит \( \sin \alpha = \frac{8 \cdot 0.2588}{2.7} = 0.767 \). Теперь находим угол \( \alpha \) как арксинус от 0.767, получаем около \( 50^\circ \) или \( 130^\circ \). В примере указан угол \( 130^\circ \), значит выбираем его.

Последний угол \( \gamma \) находим по сумме углов треугольника: сумма всех углов равна 180 градусам, значит \( \gamma = 180^\circ — \alpha — \beta = 180^\circ — 130^\circ — 15^\circ = 35^\circ \).

2) Во втором треугольнике даны стороны \( b = 7 \) см и \( c = 5 \) см, а также угол \( \alpha = 145^\circ \), лежащий напротив стороны \( a \). Сначала найдем сторону \( a \) по теореме косинусов: \( a = \sqrt{b^2 + c^2 — 2bc \cos \alpha} \). Подставляем: \( a = \sqrt{7^2 + 5^2 — 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 145^\circ} \). Значения: \( 7^2 = 49 \), \( 5^2 = 25 \), косинус 145 градусов примерно -0.819. Тогда \( a = \sqrt{49 + 25 — 70 \cdot (-0.819)} = \sqrt{74 + 57.3} = \sqrt{131.3} \approx 11.5 \) см.

Далее найдем угол \( \beta \), используя закон синусов: \( \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \alpha}{a} \), откуда \( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} \). Подставляем: \( \sin \beta = \frac{7 \cdot \sin 145^\circ}{11.5} \). Синус 145 градусов около 0.574, значит \( \sin \beta = \frac{7 \cdot 0.574}{11.5} = 0.349 \). Тогда угол \( \beta \approx \arcsin 0.349 = 20^\circ \).

Угол \( \gamma \) находим по сумме углов: \( \gamma = 180^\circ — \alpha — \beta = 180^\circ — 145^\circ — 20^\circ = 15^\circ \).