ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 12 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите:
1) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \);
2) \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{1}{6} \);
3) \( \tan \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) и \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);
4) \( \cot \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{8}{17} \).
1) \( \cos \alpha = \pm \frac{12}{13} \)
2) \( \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{35}}{6} \)
3) \( \tan \alpha = \frac{5}{12} \)
4) \( \cot \alpha = \mp \frac{8}{15} \)
Если дано, что \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \), для нахождения \( \cos \alpha \) используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Подставляя значение синуса, получаем \( \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \), что равно \( \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \). Вычитаем \( \frac{25}{169} \) из обеих частей уравнения, получаем \( \cos^2 \alpha = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \). Извлекая квадратный корень, получаем \( \cos \alpha = \pm \frac{12}{13} \). Знак зависит от четверти, в которой находится угол \( \alpha \), так как косинус может быть положительным или отрицательным.
Если известно, что \( \cos \alpha = \frac{1}{6} \), чтобы найти \( \sin \alpha \), снова используем тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Подставляем значение косинуса: \( \sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 1 \), что равно \( \sin^2 \alpha + \frac{1}{36} = 1 \). Вычитаем \( \frac{1}{36} \) из обеих частей, получаем \( \sin^2 \alpha = 1 — \frac{1}{36} = \frac{36}{36} — \frac{1}{36} = \frac{35}{36} \). Извлекая корень, находим \( \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{35}}{6} \). Знак зависит от положения угла \( \alpha \).
Если \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) и угол \( \alpha \) находится в первой четверти (то есть \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \)), то и \( \cos \alpha \), и \( \sin \alpha \) положительны. Из первого пункта \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \). Тогда тангенс угла равен отношению синуса к косинусу: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \). Если \( \cos \alpha = -\frac{8}{17} \), то находим \( \sin \alpha \) через тождество: \( \sin^2 \alpha + \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 \), то есть \( \sin^2 \alpha + \frac{64}{289} = 1 \), следовательно, \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \), и \( \sin \alpha = \pm \frac{15}{17} \). Знак синуса зависит от четверти, в которой находится угол \( \alpha \): если \( \cos \alpha < 0 \), то угол может быть во второй или третьей четверти, где синус положителен или отрицателен соответственно. Котангенс равен отношению косинуса к синусу, то есть \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-\frac{8}{17}}{\pm \frac{15}{17}} = \mp \frac{8}{15} \).
