ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 120 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите треугольник по трём сторонам:
1) \( a = 4 \) см, \( b = 5 \) см, \( c = 7 \) см;
2) \( a = 26 \) см, \( b = 19 \) см, \( c = 42 \) см.

Для треугольника с \(a=4\), \(b=5\), \(c=7\):

\(\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc} = \frac{25 + 49 — 16}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{58}{70} \approx 0{,}8286\), значит \(\alpha \approx 34^\circ\).

\(\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 — b^2}{2ac} = \frac{16 + 49 — 25}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{40}{56} \approx 0{,}7143\), значит \(\beta \approx 44^\circ\).

\(\gamma = 180^\circ — 34^\circ — 44^\circ = 102^\circ\).

Для треугольника с \(a=26\), \(b=19\), \(c=42\):

\(\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc} = \frac{361 + 1764 — 676}{2 \cdot 19 \cdot 42} = \frac{1449}{1596} \approx 0{,}9079\), значит \(\alpha \approx 25^\circ\).

\(\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 — b^2}{2ac} = \frac{676 + 1764 — 361}{2 \cdot 26 \cdot 42} = \frac{2079}{2184} \approx 0{,}9519\), значит \(\beta \approx 18^\circ\).

\(\gamma = 180^\circ — 25^\circ — 18^\circ = 137^\circ\).

Для нахождения углов треугольника с известными сторонами мы используем теорему косинусов. Эта теорема позволяет найти угол при любой стороне, если известны длины всех трёх сторон. Формула теоремы косинусов для угла \(\alpha\), напротив стороны \(a\), выглядит так: \(\cos \alpha = \frac{b^{2} + c^{2} — a^{2}}{2bc}\). Здесь \(a\), \(b\), \(c\) — длины сторон треугольника, а \(\alpha\) — угол напротив стороны \(a\). Подставляя значения сторон, мы можем найти косинус угла, а затем по значению косинуса определить сам угол с помощью обратной функции косинуса.

Рассмотрим первый треугольник со сторонами \(a=4\), \(b=5\), \(c=7\). Для вычисления угла \(\alpha\) используем формулу: \(\cos \alpha = \frac{5^{2} + 7^{2} — 4^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 — 16}{70} = \frac{58}{70} \approx 0{,}8286\). Значение косинуса близко к 0,83, что соответствует углу примерно \(34^\circ\). Аналогично находим угол \(\beta\) напротив стороны \(b\): \(\cos \beta = \frac{4^{2} + 7^{2} — 5^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 — 25}{56} = \frac{40}{56} \approx 0{,}7143\). Это даёт угол около \(44^\circ\). Третий угол \(\gamma\) находим по сумме углов треугольника: \(180^\circ — 34^\circ — 44^\circ = 102^\circ\).

Для второго треугольника с \(a=26\), \(b=19\), \(c=42\) повторяем те же шаги. Угол \(\alpha\) рассчитываем так: \(\cos \alpha = \frac{19^{2} + 42^{2} — 26^{2}}{2 \cdot 19 \cdot 42} = \frac{361 + 1764 — 676}{1596} = \frac{1449}{1596} \approx 0{,}9079\), что соответствует углу около \(25^\circ\). Для угла \(\beta\): \(\cos \beta = \frac{26^{2} + 42^{2} — 19^{2}}{2 \cdot 26 \cdot 42} = \frac{676 + 1764 — 361}{2184} = \frac{2079}{2184} \approx 0{,}9519\), что даёт угол примерно \(18^\circ\). Тогда третий угол \(\gamma = 180^\circ — 25^\circ — 18^\circ = 137^\circ\), что показывает, что этот треугольник более тупоугольный.