ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 122 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите треугольник, в котором:
1) \( a = 10 \) см, \( b = 3 \) см, \( \beta = 10^\circ \), угол \( \alpha \) — острый;
2) \( a = 10 \) см, \( b = 3 \) см, \( \beta = 10^\circ \), угол \( \alpha \) — тупой.

1) \( \sin \alpha = \frac{a}{b} \sin \beta = \frac{10}{3} \sin 10^\circ \approx \frac{10}{3} \times 0.1736 = 0.5789 \), значит \( \alpha \approx 35^\circ \). Тогда \( \gamma = 180^\circ — 35^\circ — 10^\circ = 135^\circ \). Найдём \( c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{3 \sin 135^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{3 \times 0.7071}{0.1736} \approx 12.2 \) см.

2) \( \alpha = 180^\circ — 35^\circ = 145^\circ \). Тогда \( \gamma = 180^\circ — 145^\circ — 10^\circ = 25^\circ \). Найдём \( c = \frac{3 \sin 25^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{3 \times 0.4226}{0.1736} \approx 7.3 \) см.

Для начала вспомним теорему синусов, которая говорит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон. То есть \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \). В нашем случае даны стороны \( a = 10 \) см и \( b = 3 \) см, а угол \( \beta = 10^\circ \). Нам нужно найти углы \( \alpha \) и \( \gamma \), а также сторону \( c \).

Сначала найдём угол \( \alpha \). Для этого используем формулу \( \sin \alpha = \frac{a}{b} \sin \beta \). Подставляем значения: \( \sin \alpha = \frac{10}{3} \times \sin 10^\circ \). Значение \( \sin 10^\circ \approx 0.1736 \), значит \( \sin \alpha = \frac{10}{3} \times 0.1736 = 0.5789 \). Теперь найдём сам угол \( \alpha \) с помощью обратной функции синуса: \( \alpha = \arcsin 0.5789 \approx 35^\circ \). Это первый возможный вариант угла \( \alpha \), когда он острый.

Далее найдём угол \( \gamma \), используя тот факт, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). Значит, \( \gamma = 180^\circ — \alpha — \beta = 180^\circ — 35^\circ — 10^\circ = 135^\circ \). Теперь найдём сторону \( c \) по формуле теоремы синусов: \( c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{3 \times \sin 135^\circ}{\sin 10^\circ} \). Значение \( \sin 135^\circ = \sin (180^\circ — 45^\circ) = \sin 45^\circ \approx 0.7071 \), значит \( c = \frac{3 \times 0.7071}{0.1736} = 12.2 \) см.

Второй вариант — угол \( \alpha \) может быть тупым, так как \( \sin \alpha = \sin (180^\circ — \alpha) \). Тогда \( \alpha = 180^\circ — 35^\circ = 145^\circ \). Найдём угол \( \gamma \) по формуле суммы углов: \( \gamma = 180^\circ — 145^\circ — 10^\circ = 25^\circ \). Теперь найдём сторону \( c \): \( c = \frac{3 \times \sin 25^\circ}{\sin 10^\circ} \). Значение \( \sin 25^\circ \approx 0.4226 \), значит \( c = \frac{3 \times 0.4226}{0.1736} = 7.3 \) см.