Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 123 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:
1) \( a = 7 \) см, \( b = 11 \) см, \( \beta = 46^\circ \);
2) \( b = 15 \) см, \( c = 17 \) см, \( \beta = 32^\circ \);
3) \( a = 7 \) см, \( c = 3 \) см, \( \gamma = 27^\circ \).
1) \( a=7 \text{ см}, b=11 \text{ см}, \beta=46^\circ \)
\(\sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} = \frac{7 \cdot \sin 46^\circ}{11} \approx \frac{7 \cdot 0.7193}{11} = 0.4578\)
\(\alpha \approx 27^\circ\)
\(\gamma = 180^\circ — 27^\circ — 46^\circ = 107^\circ\)
\(c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{11 \cdot \sin 107^\circ}{\sin 46^\circ} \approx \frac{11 \cdot 0.9744}{0.7193} = 14.6 \text{ см}\)
2) \( b=15 \text{ см}, c=17 \text{ см}, \beta=32^\circ \)
\(\sin \gamma = \frac{c \sin \beta}{b} = \frac{17 \cdot \sin 32^\circ}{15} \approx \frac{17 \cdot 0.5299}{15} = 0.6006\)
\(\gamma_1 \approx 37^\circ, \gamma_2 \approx 143^\circ\)
\(\alpha_1 = 180^\circ — 32^\circ — 37^\circ = 111^\circ\)
\(a_1 = \frac{c \sin \alpha_1}{\sin \gamma_1} = \frac{17 \cdot \sin 111^\circ}{\sin 37^\circ} \approx \frac{17 \cdot 0.9336}{0.6018} = 26.4 \text{ см}\)
\(\alpha_2 = 180^\circ — 32^\circ — 143^\circ = 5^\circ\)
\(a_2 = \frac{c \sin \alpha_2}{\sin \gamma_2} = \frac{17 \cdot \sin 5^\circ}{\sin 143^\circ} \approx \frac{17 \cdot 0.0872}{0.6018} = 2.5 \text{ см}\)
3) \( a=7 \text{ см}, c=3 \text{ см}, \gamma=27^\circ \)
\(\sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{7 \cdot \sin 27^\circ}{3} \approx \frac{7 \cdot 0.4540}{3} = 1.0593\)
Так как \(\sin \alpha > 1\), угол \(\alpha\) не существует, треугольник не существует.
В первом случае даны стороны \( a=7 \text{ см} \), \( b=11 \text{ см} \) и угол \( \beta=46^\circ \). Чтобы найти остальные углы и сторону, используем теорему синусов, которая говорит, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника. Значит, можно записать \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \). Отсюда выразим \( \sin \alpha = \frac{a \sin \beta}{b} \). Подставляем числа: \( \sin \alpha = \frac{7 \cdot \sin 46^\circ}{11} \). Значение \( \sin 46^\circ \) примерно равно 0.7193, тогда \( \sin \alpha \approx \frac{7 \cdot 0.7193}{11} = 0.4578 \). Теперь найдём угол \( \alpha \) как арксинус от 0.4578, что примерно равно \( 27^\circ \). Зная два угла, находим третий: \( \gamma = 180^\circ — 27^\circ — 46^\circ = 107^\circ \). Для нахождения стороны \( c \) снова используем теорему синусов: \( c = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{11 \cdot \sin 107^\circ}{\sin 46^\circ} \). Значения синусов: \( \sin 107^\circ \approx 0.9744 \), \( \sin 46^\circ \approx 0.7193 \), значит \( c \approx \frac{11 \cdot 0.9744}{0.7193} = 14.6 \text{ см} \).
Во втором случае даны сторона \( b=15 \text{ см} \), сторона \( c=17 \text{ см} \) и угол \( \beta=32^\circ \). Снова используем теорему синусов: \( \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \), откуда \( \sin \gamma = \frac{c \sin \beta}{b} \). Подставляем: \( \sin \gamma = \frac{17 \cdot \sin 32^\circ}{15} \). Значение \( \sin 32^\circ \) приблизительно 0.5299, тогда \( \sin \gamma \approx \frac{17 \cdot 0.5299}{15} = 0.6006 \). Угол \( \gamma \) может быть либо \( \arcsin 0.6006 \approx 37^\circ \), либо \( 180^\circ — 37^\circ = 143^\circ \), так как синус одинаков для двух углов. Для каждого варианта найдём угол \( \alpha \) по формуле \( \alpha = 180^\circ — \beta — \gamma \). Для \( \gamma = 37^\circ \) получаем \( \alpha = 111^\circ \), для \( \gamma = 143^\circ \) — \( \alpha = 5^\circ \). Теперь найдём сторону \( a \) по теореме синусов: \( a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} \). Для первого варианта: \( a \approx \frac{17 \cdot \sin 111^\circ}{\sin 37^\circ} = \frac{17 \cdot 0.9336}{0.6018} = 26.4 \text{ см} \). Для второго варианта: \( a \approx \frac{17 \cdot \sin 5^\circ}{\sin 143^\circ} = \frac{17 \cdot 0.0872}{0.6018} = 2.5 \text{ см} \).
В третьем случае даны сторона \( a=7 \text{ см} \), сторона \( c=3 \text{ см} \) и угол \( \gamma=27^\circ \). Используем теорему синусов для нахождения угла \( \alpha \): \( \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{7 \cdot \sin 27^\circ}{3} \). Значение \( \sin 27^\circ \) примерно 0.4540, тогда \( \sin \alpha \approx \frac{7 \cdot 0.4540}{3} = 1.0593 \). Поскольку значение синуса не может быть больше 1, угол \( \alpha \) не существует, следовательно треугольник с такими параметрами построить нельзя.
