ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 124 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон:
1) \( a = 23 \) см, \( c = 30 \) см, \( \gamma = 102^\circ \);
2) \( a = 18 \) см, \( b = 25 \) см, \( \alpha = 36^\circ \).
1) \( a = 23 \), \( c = 30 \), \( \gamma = 102^\circ \)
\( \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{23 \cdot \sin 102^\circ}{30} \approx 0.7499 \)
\( \alpha \approx 49^\circ \)
\( \beta = 180^\circ — 102^\circ — 49^\circ = 29^\circ \)
\( b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{30 \cdot \sin 29^\circ}{\sin 102^\circ} \approx 14.9 \)
2) \( a = 18 \), \( b = 25 \), \( \alpha = 36^\circ \)
\( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{25 \cdot \sin 36^\circ}{18} \approx 0.8164 \)
\( \beta_1 \approx 55^\circ \), \( \beta_2 \approx 125^\circ \)
\( \gamma_1 = 180^\circ — 55^\circ — 36^\circ = 89^\circ \)
\( \gamma_2 = 180^\circ — 125^\circ — 36^\circ = 19^\circ \)
\( c_1 = \frac{a \sin \gamma_1}{\sin \alpha} = \frac{18 \cdot \sin 89^\circ}{\sin 36^\circ} \approx 30.6 \)
\( c_2 = \frac{18 \cdot \sin 19^\circ}{\sin 36^\circ} \approx 10.0 \)
В первом треугольнике нам даны две стороны \( a = 23 \) см и \( c = 30 \) см, а также угол \( \gamma = 102^\circ \), который лежит напротив стороны \( c \). Чтобы найти остальные углы и сторону, используем закон синусов. Этот закон говорит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон треугольника. Значит, можем записать \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \). Отсюда выразим синус угла \( \alpha \): \( \sin \alpha = \frac{a \sin \gamma}{c} = \frac{23 \cdot \sin 102^\circ}{30} \). Вычисляем синус угла \( 102^\circ \), он примерно равен \( 0.9781 \), тогда \( \sin \alpha \approx \frac{23 \cdot 0.9781}{30} = 0.7499 \). Теперь найдём угол \( \alpha \), взяв обратный синус: \( \alpha \approx \arcsin 0.7499 = 49^\circ \).
Далее, чтобы найти третий угол \( \beta \), используем свойство треугольника, что сумма углов равна \( 180^\circ \). Значит, \( \beta = 180^\circ — \gamma — \alpha = 180^\circ — 102^\circ — 49^\circ = 29^\circ \). Теперь найдём сторону \( b \), которая лежит напротив угла \( \beta \), снова используя закон синусов: \( \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \), откуда \( b = \frac{c \sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{30 \cdot \sin 29^\circ}{\sin 102^\circ} \). Синус \( 29^\circ \) примерно равен \( 0.4848 \), а синус \( 102^\circ \) — \( 0.9781 \), поэтому \( b \approx \frac{30 \cdot 0.4848}{0.9781} = 14.9 \) см.
Во втором треугольнике даны стороны \( a = 18 \) см, \( b = 25 \) см и угол \( \alpha = 36^\circ \), который лежит напротив стороны \( a \). Сначала найдём угол \( \beta \) напротив стороны \( b \) с помощью закона синусов: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \), значит \( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{25 \cdot \sin 36^\circ}{18} \). Синус \( 36^\circ \) равен примерно \( 0.5878 \), следовательно \( \sin \beta = \frac{25 \cdot 0.5878}{18} = 0.8164 \). Обратный синус может дать два значения: \( \beta_1 = 55^\circ \) и \( \beta_2 = 180^\circ — 55^\circ = 125^\circ \).
Теперь найдём третий угол \( \gamma \) для каждого варианта: \( \gamma_1 = 180^\circ — \alpha — \beta_1 = 180^\circ — 36^\circ — 55^\circ = 89^\circ \) и \( \gamma_2 = 180^\circ — \alpha — \beta_2 = 180^\circ — 36^\circ — 125^\circ = 19^\circ \). Чтобы найти сторону \( c \), используем закон синусов: \( c = \frac{a \sin \gamma}{\sin \alpha} \). Для первого варианта \( c_1 = \frac{18 \cdot \sin 89^\circ}{\sin 36^\circ} \), где \( \sin 89^\circ \approx 1 \), \( \sin 36^\circ = 0.5878 \), значит \( c_1 = \frac{18 \cdot 1}{0.5878} = 30.6 \) см. Для второго варианта \( c_2 = \frac{18 \cdot \sin 19^\circ}{\sin 36^\circ} \), где \( \sin 19^\circ = 0.3256 \), значит \( c_2 = \frac{18 \cdot 0.3256}{0.5878} = 10.0 \) см. Таким образом, для второго треугольника есть два решения с разными углами и сторонами.
