ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 125 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AB = BC = 20 \) см, \( \angle A = 70^\circ \). Найдите:
1) сторону \( AC \);
2) медиану \( CM \);
3) биссектрису \( AD \);
4) радиус окружности, описанной около треугольника \( ABC \).

\( \angle B = 180^\circ — 70^\circ — 70^\circ = 40^\circ \)

\( AC^2 = 20^2 + 20^2 — 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 40^\circ = 400 + 400 — 800 \cdot 0.7660 = 187.2 \)

\( AC = \sqrt{187.2} \approx 13.7 \)

\( AM = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \)

\( CM^2 = 13.7^2 + 10^2 — 2 \cdot 13.7 \cdot 10 \cdot \cos 70^\circ = 187.2 + 100 — 274 \cdot 0.3420 =\)
\(= 193.5 \)

\( CM = \sqrt{193.5} \approx 13.9 \)

\( \angle CAD = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \)

\( \angle ADC = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ \)

\( AD = \frac{13.7 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{13.7 \cdot 0.9397}{0.9659} \approx 13.3 \)

\( R = \frac{20}{2 \cdot \sin 70^\circ} = \frac{20}{2 \cdot 0.9397} \approx 10.6 \)

В треугольнике \( ABC \) даны равные стороны \( AB = BC = 20 \) см и угол при вершине \( A \), равный \( 70^\circ \). Поскольку стороны \( AB \) и \( BC \) равны, треугольник равнобедренный, и углы при основании \( AC \) равны. Чтобы найти сторону \( AC \), сначала определим угол \( B \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), значит \( \angle B = 180^\circ — \angle A — \angle C \). Поскольку \( \angle C = \angle A = 70^\circ \), то \( \angle B = 40^\circ \). Теперь применим закон косинусов для вычисления \( AC \): \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \). Подставляя числа, получаем \( AC^2 = 20^2 + 20^2 — 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot \cos 40^\circ = 400 + 400 — 800 \cdot 0.7660 = 187.2 \). Извлекая корень, \( AC = \sqrt{187.2} \approx 13.7 \) см.

Медиана \( CM \) проведена из вершины \( C \) к середине стороны \( AB \). Поскольку \( AB = 20 \) см, длина отрезка \( AM = \frac{1}{2} AB = 10 \) см. Рассмотрим треугольник \( AMC \) с известными сторонами \( AC \approx 13.7 \) см и \( AM = 10 \) см, а также углом \( \angle A = 70^\circ \) между ними. Для нахождения медианы \( CM \) используем теорему косинусов: \( CM^2 = AC^2 + AM^2 — 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos \angle A \). Подставляем значения: \( CM^2 = 187.2 + 100 — 2 \cdot 13.7 \cdot 10 \cdot \cos 70^\circ = 287.2 — 274 \cdot 0.3420 = 193.5 \). Значит, \( CM = \sqrt{193.5} \approx 13.9 \) см.

Биссектриса \( AD \) делит угол \( \angle A = 70^\circ \) пополам, поэтому \( \angle CAD = 35^\circ \). Рассмотрим треугольник \( ADC \), где угол \( \angle ADC = 180^\circ — 35^\circ — 70^\circ = 75^\circ \). Чтобы найти длину биссектрисы \( AD \), применим теорему синусов: \( \frac{AD}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} \), откуда \( AD = \frac{AC \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ} \). Подставляя значения, получаем \( AD = \frac{13.7 \cdot 0.9397}{0.9659} \approx 13.3 \) см. Наконец, радиус описанной окружности \( R \) вычисляется по формуле \( R = \frac{AB}{2 \sin \angle C} = \frac{20}{2 \cdot \sin 70^\circ} = \frac{20}{2 \cdot 0.9397} \approx 10.6 \) см.