ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 127 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания трапеции равны 12 см и 16 см, а боковые стороны — 7 см и 9 см. Найдите углы трапеции.
Дано: \(AD = 16\), \(BC = 12\), \(AB = 7\), \(CD = 9\).
Проведём \(CE \parallel AB\), \(E \in AD\).
В параллелограмме \(ABCE\): \(DE = AD — BC = 16 — 12 = 4\), \(CE = AB = 7\).
В треугольнике \(CED\) по теореме косинусов:
\(\cos \angle D = \frac{ED^2 + CD^2 — CE^2}{2 \cdot ED \cdot CD} = \frac{16 + 81 — 49}{2 \cdot 4 \cdot 9} = \frac{48}{72} = 0.6667\), значит \(\angle D = 48^\circ\).
\(\cos \angle E = \frac{CE^2 + ED^2 — CD^2}{2 \cdot CE \cdot ED} = \frac{49 + 16 — 81}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{-16}{56} = -0.2857\), значит \(\angle A = \angle E = 107^\circ\).
В трапеции: \(\angle B = 180^\circ — \angle A = 73^\circ\), \(\angle C = 180^\circ — \angle D = 132^\circ\).
Ответ: \(\angle A = 107^\circ\), \(\angle B = 73^\circ\), \(\angle C = 132^\circ\), \(\angle D = 48^\circ\).
Дано, что трапеция \(ABCD\) имеет основания \(AD = 16\) см и \(BC = 12\) см, а боковые стороны \(AB = 7\) см и \(CD = 9\) см. Чтобы найти углы трапеции, сначала проведём вспомогательную линию \(CE\), параллельную стороне \(AB\), где точка \(E\) лежит на стороне \(AD\). Это позволит нам рассмотреть фигуру \(ABCE\), которая является параллелограммом, потому что противоположные стороны \(AB\) и \(CE\) параллельны и равны по длине.
В параллелограмме \(ABCE\) длина отрезка \(DE\) равна разности длин оснований трапеции, то есть \(DE = AD — BC = 16 — 12 = 4\) см, а длина \(CE\) равна длине \(AB\), то есть \(CE = 7\) см. Теперь рассмотрим треугольник \(CED\), в котором известны все три стороны: \(CD = 9\) см, \(DE = 4\) см и \(CE = 7\) см. Для нахождения угла \(D\) используем теорему косинусов, которая говорит, что косинус угла равен отношению разности квадратов сторон к удвоенному произведению соседних сторон. В нашем случае \(\cos \angle D = \frac{ED^2 + CD^2 — CE^2}{2 \cdot ED \cdot CD} = \frac{4^2 + 9^2 — 7^2}{2 \cdot 4 \cdot 9} = \frac{16 + 81 — 49}{72} = \frac{48}{72} = 0.6667\). Значит, угол \(D\) примерно равен \(48^\circ\).
Чтобы найти угол \(A\), рассмотрим угол \(E\) в треугольнике \(CED\), который равен углу \(A\) в трапеции, так как \(CE \parallel AB\). Снова применим теорему косинусов: \(\cos \angle E = \frac{CE^2 + ED^2 — CD^2}{2 \cdot CE \cdot ED} = \frac{7^2 + 4^2 — 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{49 + 16 — 81}{56} = \frac{-16}{56} = -0.2857\). Отсюда угол \(A = \angle E\) примерно равен \(107^\circ\). В трапеции сумма углов при каждом основании равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle B = 180^\circ — \angle A = 73^\circ\), а \(\angle C = 180^\circ — \angle D = 132^\circ\). Таким образом, все углы трапеции найдены: \( \angle A = 107^\circ\), \(\angle B = 73^\circ\), \(\angle C = 132^\circ\), \(\angle D = 48^\circ\).
