ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 128 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектриса угла \( B \) параллелограмма \( ABCD \) пересекает его сторону \( AD \) в точке \( M \), а продолжение стороны \( CD \) за точку \( D \) — в точке \( K \). Найдите отрезок \( DK \), если \( AM = 8 \) см, а периметр параллелограмма равен 50 см.
Дан параллелограмм \( ABCD \) с периметром \( P = 50 \) см. Значит \( 2(AB + BC) = 50 \), откуда \( AB + BC = 25 \). Из условия \( AM = 8 \) см и \( AB = AM = 8 \) см. Тогда \( BC = 25 — 8 = 17 \) см.
Биссектриса угла \( B \) делит угол пополам, значит треугольники \( ABM \) и \( DCK \) подобны по двум углам. Тогда отношение сторон равно:
\( \frac{AB}{CK} = \frac{AM}{BC + DK} \)
Подставляем числа:
\( \frac{8}{8 + DK} = \frac{8}{17} \)
Отсюда \( 8 + DK = 17 \), значит \( DK = 9 \) см.
Параллелограмм \( ABCD \) имеет периметр \( P = 50 \) см. Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон, а так как противоположные стороны равны, то можно записать формулу периметра как \( P = 2(AB + BC) \). Подставляя известное значение, получаем уравнение \( 2(AB + BC) = 50 \), откуда следует, что сумма двух соседних сторон равна \( AB + BC = 25 \) см. Это важный шаг, так как теперь мы знаем сумму двух смежных сторон.
Из условия задачи известно, что \( AM = 8 \) см, причем \( M \) — точка на стороне \( AD \), через которую проходит биссектриса угла \( B \). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( AB = CD \) и \( BC = AD \). Поскольку \( M \) лежит на \( AD \), и \( AM = 8 \) см, а биссектриса делит угол \( B \), то треугольник \( ABM \) является равнобедренным с равными сторонами \( AB \) и \( AM \). Следовательно, \( AB = 8 \) см. Теперь, зная \( AB \), можно найти \( BC \) по формуле суммы сторон: \( BC = 25 — AB = 25 — 8 = 17 \) см.
Биссектриса угла \( B \) пересекает продление стороны \( CD \) в точке \( K \). Треугольники \( ABM \) и \( DCK \) подобны, так как у них равны углы при вершинах \( B \) и \( D \), и биссектриса делит угол поровну. Из подобия следует, что отношение соответствующих сторон равно, то есть \( \frac{AB}{CK} = \frac{AM}{DC + DK} \). Подставляя известные значения, получаем \( \frac{8}{8 + DK} = \frac{8}{17} \), так как \( DC = AB = 8 \) см. Решая уравнение, получаем \( 8 + DK = 17 \), откуда \( DK = 9 \) см.
