ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 129 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Периметр одного из двух подобных треугольников на 18 см меньше периметра другого треугольника, а наибольшие стороны этих треугольников равны 5 см и 8 см. Найдите периметры данных треугольников.
Дано: \( AB = 8 \), \( A_1B_1 = 5 \), \( P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC} — 18 \).
Так как треугольники подобны, то
\( \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{8}{5} \).
Подставим \( P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC} — 18 \):
\( \frac{P_{ABC}}{P_{ABC} — 18} = \frac{8}{5} \).
Перемножим:
\( 5P_{ABC} = 8(P_{ABC} — 18) \).
Раскроем скобки:
\( 5P_{ABC} = 8P_{ABC} — 144 \).
Перенесём все в одну сторону:
\( 5P_{ABC} — 8P_{ABC} = -144 \),
\( -3P_{ABC} = -144 \),
\( P_{ABC} = \frac{144}{3} = 48 \).
Найдём \( P_{A_1B_1C_1} \):
\( P_{A_1B_1C_1} = 48 — 18 = 30 \).
Два треугольника подобны, значит все их стороны относятся друг к другу с одинаковым коэффициентом. Известно, что самая большая сторона первого треугольника \( AB = 8 \) см, а соответствующая сторона второго треугольника \( A_1B_1 = 5 \) см. Это значит, что отношение длин сторон равно \( \frac{8}{5} \). Поскольку периметр треугольника — это сумма всех его сторон, то и отношение периметров этих треугольников будет таким же, как и отношение соответствующих сторон. То есть, если обозначить периметры треугольников как \( P_{ABC} \) и \( P_{A_1B_1C_1} \), то будет справедливо равенство \( \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{8}{5} \).
Из условия задачи известно, что периметр второго треугольника на 18 см меньше периметра первого, то есть \( P_{A_1B_1C_1} = P_{ABC} — 18 \). Подставим это выражение в формулу отношения периметров: \( \frac{P_{ABC}}{P_{ABC} — 18} = \frac{8}{5} \). Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на \( P_{ABC} — 18 \), получим \( 5P_{ABC} = 8(P_{ABC} — 18) \). Раскроем скобки справа: \( 5P_{ABC} = 8P_{ABC} — 144 \).
Теперь перенесём все слагаемые с \( P_{ABC} \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 5P_{ABC} — 8P_{ABC} = -144 \), что упрощается до \( -3P_{ABC} = -144 \). Делим обе части на \(-3\) и получаем \( P_{ABC} = \frac{144}{3} = 48 \). Таким образом, периметр первого треугольника равен 48 см. Чтобы найти периметр второго треугольника, подставим значение \( P_{ABC} \) в выражение для \( P_{A_1B_1C_1} \): \( P_{A_1B_1C_1} = 48 — 18 = 30 \). Итог: периметры треугольников равны 48 см и 30 см соответственно.
