ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 13 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):
1) косинус острого угла больше косинуса тупого угла;
2) существует угол, синус и косинус которого равны;
3) существует угол, синус и косинус которого равны нулю;
4) косинус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;
5) синус угла треугольника может быть равным отрицательному числу;
6) косинус угла треугольника может быть равным нулю;
7) синус угла треугольника может быть равным нулю;
8) косинус угла треугольника может быть равным \(-1\);
9) синус угла треугольника может быть равным \(1\);
10) синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла;
11) косинус развёрнутого угла меньше косинуса угла, отличного от развёрнутого;
12) синусы смежных углов равны;
13) косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами;
14) если косинусы двух углов равны, то равны и сами углы;
15) если синусы двух углов равны, то равны и сами углы;
16) тангенс острого угла больше тангенса тупого угла;
17) тангенс острого угла больше котангенса тупого угла?

1) верно
2) верно
3) неверно
4) верно
5) неверно
6) верно
7) неверно
8) неверно
9) верно
10) верно
11) верно
12) верно
13) верно
14) неверно
15) неверно
16) верно
17) верно

1) Косинус острого угла \( \alpha \), где \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), положителен и убывает от 1 до 0. Косинус тупого угла \( \beta \), где \( 90^\circ < \beta < 180^\circ \), отрицателен и убывает от 0 до -1. Следовательно, для любого острого угла косинус больше косинуса тупого угла. Верно. 2) Существует угол \( \theta = 45^\circ \), для которого синус и косинус равны: \( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, утверждение верно. 3) Синус равен нулю при углах \( 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ \), а косинус равен нулю при \( 90^\circ, 270^\circ \). Нет угла, для которого одновременно \( \sin \theta = 0 \) и \( \cos \theta = 0 \). Неверно. 4) В треугольнике угол может быть тупым. Для тупого угла косинус отрицателен, так как \( \cos \beta < 0 \) при \( 90^\circ < \beta < 180^\circ \). Значит, косинус угла треугольника может быть отрицательным. Верно. 5) Углы треугольника находятся в диапазоне \( 0^\circ < \alpha < 180^\circ \), где синус всегда неотрицателен, так как \( \sin \alpha \geq 0 \). Следовательно, синус угла треугольника не может быть отрицательным. Неверно. 6) Если угол треугольника равен \( 90^\circ \), то \( \cos 90^\circ = 0 \). Значит, косинус угла треугольника может быть равен нулю. Верно. 7) Синус равен нулю при углах \( 0^\circ \) и \( 180^\circ \), а такие углы не могут быть углами треугольника. Следовательно, синус угла треугольника не может быть равен нулю. Неверно. 8) Косинус равен -1 только при угле \( 180^\circ \), который не может быть углом треугольника. Значит, косинус угла треугольника не может быть равен -1. Неверно. 9) Синус равен 1 при угле \( 90^\circ \), который может быть углом треугольника (прямой угол). Значит, синус угла треугольника может быть равен 1. Верно. 10) Синус достигает максимума 1 при \( 90^\circ \). Для любого другого угла \( \alpha \neq 90^\circ \), \( \sin \alpha < 1 \). Значит, синус угла, отличного от прямого, меньше синуса прямого угла. Верно. 11) Косинус развёрнутого угла \( 180^\circ \) равен -1, что является минимальным значением косинуса. Для любого другого угла косинус больше -1. Значит, косинус развёрнутого угла меньше косинуса любого другого угла. Верно. 12) Смежные углы \( \alpha \) и \( 180^\circ - \alpha \) имеют синусы равные, так как \( \sin \alpha = \sin (180^\circ - \alpha) \). Значит, синусы смежных углов равны. Верно. 13) Косинусы смежных углов связаны как \( \cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \). Следовательно, косинусы неравных смежных углов являются противоположными числами. Верно. 14) Если \( \cos \alpha = \cos \beta \), то возможно \( \alpha = \beta \) или \( \alpha = 360^\circ - \beta \). Значит, равенство косинусов не гарантирует равенство углов. Неверно. 15) Если \( \sin \alpha = \sin \beta \), то возможно \( \alpha = \beta \) или \( \alpha = 180^\circ - \beta \). Значит, равенство синусов не гарантирует равенство углов. Неверно. 16) Тангенс острого угла положителен, так как \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \Rightarrow \tan \alpha > 0 \). Тангенс тупого угла отрицателен, так как \( 90^\circ < \beta < 180^\circ \Rightarrow \tan \beta < 0 \). Значит, тангенс острого угла больше тангенса тупого угла. Верно. 17) Тангенс острого угла положителен. Котангенс тупого угла отрицателен, так как \( \cot \beta = \frac{1}{\tan \beta} \) и \( \tan \beta < 0 \). Значит, тангенс острого угла больше котангенса тупого угла. Верно.