ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 131 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \( AC \) треугольника \( ABC \) отметили точку \( D \) так, что \( \angle ADB = \alpha \). Докажите, что \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha \).

Дано: \( \angle ADB = \alpha \).

Докажем, что \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha \).

1) Проведём высоту \( BH \perp AC \), где \( H \in AC \).

2) Рассмотрим треугольник \( BHD \). Угол \( \angle BDH = 180^\circ — \angle ADB = 180^\circ — \alpha \), значит \( \sin \angle BDH = \sin \alpha \).

По определению синуса: \( \sin \alpha = \frac{BH}{BD} \), откуда \( BH = BD \sin \alpha \).

3) Площадь треугольника \( ABC \) равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha \).

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором точка \( D \) лежит на стороне \( AC \), и угол при вершине \( D \), образованный отрезками \( AD \) и \( BD \), равен \( \alpha \). Чтобы найти площадь треугольника \( ABC \), можно использовать основание \( AC \) и высоту, опущенную из вершины \( B \) на сторону \( AC \). Обозначим точку пересечения высоты с \( AC \) как \( H \). По определению высоты, отрезок \( BH \) перпендикулярен \( AC \), то есть \( BH \perp AC \).

Теперь рассмотрим треугольник \( BHD \). В этом треугольнике угол \( \angle BDH \) является смежным с углом \( \alpha \), и так как \( \angle ADB = \alpha \), то угол \( \angle BDH = 180^\circ — \alpha \). По свойству синуса, \( \sin (180^\circ — \alpha) = \sin \alpha \). В треугольнике \( BHD \) по определению синуса угол \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета \( BH \) к гипотенузе \( BD \), то есть \( \sin \alpha = \frac{BH}{BD} \). Из этого равенства можно выразить высоту \( BH \) как \( BH = BD \sin \alpha \).

Площадь треугольника \( ABC \) вычисляется по формуле \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \), где основанием выберем сторону \( AC \), а высотой — отрезок \( BH \). Подставляя найденное значение высоты, получаем \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha \). Таким образом, площадь треугольника выражается через сторону \( AC \), отрезок \( BD \) и синус угла \( \alpha \), что и требовалось доказать.