ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 132 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь треугольника \( ABC \), если:

1) \( AB = 12 \) см, \( AC = 9 \) см, \( \angle A = 30^\circ \);

2) \( AC = 3 \) см, \( BC = 6\sqrt{2} \) см, \( \angle C = 135^\circ \).

Краткий ответ:

1) \( S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \angle A = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \frac{1}{2}=\)
\( = 27 \text{ см}^2 \).

2) \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin \angle C = \frac{1}{2} \times 3 \times 6\sqrt{2} \times \sin 135^\circ =\)
\(= \frac{1}{2} \times 3 \times 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \frac{2}{2} = 9 \text{ см}^2 \).

Подробный ответ:

Чтобы найти площадь треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, нужно использовать формулу площади через синус угла. Эта формула выглядит так: \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin \theta \), где \(a\) и \(b\) — длины двух сторон, а \(\theta\) — угол между ними. Формула работает, потому что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высоту можно выразить через сторону и синус угла. Сначала рассмотрим первый пример.

В первом случае даны стороны \(AB = 12\) см и \(AC = 9\) см, а угол между ними \(\angle A = 30^\circ\). Подставим эти значения в формулу: \( S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \sin 30^\circ \). Значение \(\sin 30^\circ\) известно и равно \( \frac{1}{2} \). Тогда вычисления идут так: \( S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 \times \frac{1}{2} \). Сначала умножаем \(12\) на \(9\), получаем \(108\), потом умножаем на \(\frac{1}{2}\), получается \(54\), и ещё раз умножаем на \(\frac{1}{2}\), в итоге получаем \(27\) квадратных сантиметров. Это и есть площадь первого треугольника.

Во втором примере известны стороны \(AC = 3\) см и \(BC = 6\sqrt{2}\) см, а угол между ними \(\angle C = 135^\circ\). Снова используем формулу: \( S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6\sqrt{2} \times \sin 135^\circ \). Чтобы вычислить синус угла \(135^\circ\), вспомним, что \(135^\circ = 180^\circ — 45^\circ\), и синус угла на втором квадранте равен синусу дополнительного угла, то есть \(\sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим это значение: \( S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \). Умножая \(\sqrt{2}\) на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем \(\frac{2}{2} = 1\). Значит, формула упрощается до \( S = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times 1 = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \) квадратных сантиметров. Это площадь второго треугольника.

Оцени решение