ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 135 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите угол между данными сторонами треугольника \( ABC \), если:
1) \( AB = 12 \) см, \( BC = 10 \) см, площадь треугольника равна \( 30\sqrt{3} \) см²;
2) \( AB = 14 \) см, \( AC = 8 \) см, площадь треугольника равна 56 см².

Краткий ответ:

1) \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \angle B \)
\( 30 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin \angle B \)
\( 30 \sqrt{3} = 60 \sin \angle B \)
\( \sin \angle B = \frac{30 \sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \angle B = 60^\circ \) или \( 120^\circ \)

2) \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle A \)
\( 56 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \sin \angle A \)
\( 56 = 56 \sin \angle A \)
\( \sin \angle A = 1 \)
\( \angle A = 90^\circ \)

Подробный ответ:

Площадь треугольника можно найти через две стороны и угол между ними по формуле \( S = \frac{1}{2} ab \sin \theta \), где \( a \) и \( b \) — длины сторон, а \( \theta \) — угол между ними. В первом случае даны стороны \( AB = 12 \) см и \( BC = 10 \) см, а площадь равна \( 30 \sqrt{3} \) см^{2}. Подставим эти значения в формулу: \( 30 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin \angle B \). Упростим правую часть: \( \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \), значит уравнение принимает вид \( 30 \sqrt{3} = 60 \sin \angle B \).

Чтобы найти \( \sin \angle B \), разделим обе части уравнения на 60: \( \sin \angle B = \frac{30 \sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значение \( \sin \angle B = \frac{\sqrt{3}}{2} \) известно из тригонометрии — это синус угла в 60 градусов. Однако синус положителен и для угла 120 градусов, так как синус в первой и второй четвертях положителен. Значит, угол \( \angle B \) может быть равен либо \( 60^\circ \), либо \( 120^\circ \).

Во втором случае известны стороны \( AB = 14 \) см и \( AC = 8 \) см, площадь треугольника равна 56 см^{2}. Формула площади через угол \( \angle A \) между этими сторонами: \( 56 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \sin \angle A \). Упростим: \( \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 = 56 \), следовательно уравнение становится \( 56 = 56 \sin \angle A \). Разделим обе части на 56, получаем \( \sin \angle A = 1 \). Синус равный единице соответствует углу \( 90^\circ \), то есть угол \( \angle A \) прямой.

Оцени решение