ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 136 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь треугольника \( ABC \) равна 18 см². Найдите угол \( C \), если \( AC = 8 \) см, \( BC = 9 \) см.

Дано: \( S_{ABC} = 18 \text{ см}^2 \), \( AC = 8 \text{ см} \), \( BC = 9 \text{ см} \)

Формула площади: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin \angle C \)

Подставляем: \( 18 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin \angle C \)

Вычисляем: \( 18 = 36 \cdot \sin \angle C \)

Находим синус: \( \sin \angle C = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)

Углы с таким синусом: \( \angle C = 30^\circ \) или \( \angle C = 180^\circ — 30^\circ = 150^\circ \)

Ответ: \( 30^\circ; 150^\circ \)

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и угол между ними по формуле \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin \angle C \). В этой формуле \( AC \) и \( BC \) — известные стороны, а \( \angle C \) — угол между ними, который нужно найти. Площадь \( S_{ABC} \) нам дана и равна 18 см², стороны \( AC = 8 \) см и \( BC = 9 \) см.

Подставим значения в формулу: \( 18 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin \angle C \). Сначала умножим все числа, кроме синуса: \( \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \), дальше \( 4 \cdot 9 = 36 \). Получается уравнение \( 18 = 36 \cdot \sin \angle C \). Теперь нужно найти \( \sin \angle C \), для этого разделим обе части уравнения на 36: \( \sin \angle C = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \).

Синус угла равен \( \frac{1}{2} \) при двух значениях угла в пределах от 0° до 180°: это \( 30^\circ \) и \( 150^\circ \). Таким образом, угол \( \angle C \) может быть либо \( 30^\circ \), либо \( 150^\circ \). Эти два значения соответствуют разным возможным формам треугольника с заданными сторонами и площадью. Ответ: \( 30^\circ; 150^\circ \).