ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 140 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

Дано: \(AB = 13\), \(BC = 20\), \(AC = 21\)
Найти: \(BH\) — высоту на сторону \(AC\)

Полупериметр \(p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = 27\)
Площадь \(S = \sqrt{27(27 — 13)(27 — 20)(27 — 21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{15876} = 126\)
Высота \(BH = \frac{2S}{AC} = \frac{2 \cdot 126}{21} = 12\)

Ответ: 12 см

Дано три стороны треугольника: \(AB = 13\), \(BC = 20\), \(AC = 21\). Чтобы найти высоту, опущенную на сторону \(AC\), сначала нужно вычислить полупериметр треугольника. Полупериметр — это половина суммы всех сторон, то есть \(p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = 27\). Это важный шаг, потому что дальше мы будем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника.

Далее считаем площадь треугольника по формуле Герона, которая выглядит так: \(S = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)}\). Подставляем наши значения: \(S = \sqrt{27(27 — 13)(27 — 20)(27 — 21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6}\). Чтобы вычислить это, умножаем все числа под корнем: \(27 \cdot 14 = 378\), \(378 \cdot 7 = 2646\), \(2646 \cdot 6 = 15876\). Теперь извлекаем квадратный корень из \(15876\), получая \(126\). Таким образом, площадь треугольника равна \(126\).

Теперь, чтобы найти высоту \(BH\), опущенную на сторону \(AC\), используем формулу высоты: \(h = \frac{2S}{AC}\). Подставляем наши значения: \(h = \frac{2 \cdot 126}{21} = \frac{252}{21} = 12\). Значит, высота треугольника, опущенная на сторону длиной \(21\) см, равна \(12\) см. Это и есть наименьшая высота треугольника, так как высота всегда наименьшая при опускании на наибольшую сторону.