ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 15 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
1) \(2 \sin 120^\circ + 4 \cos 150^\circ — 2 \tan 135^\circ\)

2) \(\cos 120^\circ — 8 \sin^2 150^\circ + 3 \cos 90^\circ \cos 162^\circ\)

3) \(\cos 180^\circ \left(\sin 135^\circ \tan 60^\circ — \cos 135^\circ\right)^2\)

4) \(2 \sin^2 150^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 45^\circ + \tan^2 120^\circ — \cot^2 30^\circ\)

1) \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\),
\(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\),
\(\tan 135^\circ = -1\)
Подставляем:
\(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) — 2 \cdot (-1) = \sqrt{3} — 2\sqrt{3} + 2 = -\sqrt{3} + 2\)

2) \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\),
\(\sin 150^\circ = \frac{1}{2}\),
\(\sin^2 150^\circ = \frac{1}{4}\),
\(\cos 90^\circ = 0\)
Подставляем:
\(-\frac{1}{2} — 8 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 \cdot \cos 162^\circ = -\frac{1}{2} — 2 + 0 = -\frac{5}{2}\)

3) \(\cos 180^\circ = -1\),
\(\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\),
\(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Внутри скобок:
\(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} — \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)
Квадрат:
\(\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{6 + 2 + 2 \sqrt{12}}{4} = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}\)
Подставляем:
\(-1 \cdot (2 + \sqrt{3}) = -2 — \sqrt{3}\)

4) \(\sin^2 150^\circ = \frac{1}{4}\),
\(\cos^2 60^\circ = \frac{1}{4}\),
\(\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}\),
\(\tan^2 120^\circ = 3\),
\(\cot^2 30^\circ = 3\)
Подставляем:
\(2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 — 3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 0 = \frac{5}{4}\)

1) \(2 \sin 120^\circ + 4 \cos 150^\circ — 2 \tan 135^\circ\)

Вычислим значения тригонометрических функций:
\(\sin 120^\circ = \sin (180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ — 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan 135^\circ = \tan (180^\circ — 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1\)

Подставим:
\(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) — 2 \cdot (-1) = \sqrt{3} — 2 \sqrt{3} + 2 = -\sqrt{3} + 2\)

2) \(\cos 120^\circ — 8 \sin^2 150^\circ + 3 \cos 90^\circ \cos 162^\circ\)

Вычислим значения:
\(\cos 120^\circ = \cos (180^\circ — 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\)
\(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ — 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\sin^2 150^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
\(\cos 90^\circ = 0\) (значение умножается на \(\cos 162^\circ\), но итог будет 0)

Подставим:
\(-\frac{1}{2} — 8 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot 0 \cdot \cos 162^\circ = -\frac{1}{2} — 2 + 0 = -\frac{5}{2}\)

3) \(\cos 180^\circ (\sin 135^\circ \tan 60^\circ — \cos 135^\circ)^2\)

Вычислим значения:
\(\cos 180^\circ = -1\)
\(\sin 135^\circ = \sin (180^\circ — 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)
\(\cos 135^\circ = \cos (180^\circ — 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Внутри скобок:
\(\sin 135^\circ \tan 60^\circ — \cos 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} — \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)

Возведём в квадрат:
\(\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{4} = \frac{6 + 2 + 2 \sqrt{12}}{4} = \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}\)

Подставим:
\(-1 \cdot (2 + \sqrt{3}) = -2 — \sqrt{3}\)

4) \(2 \sin^2 150^\circ + \cos^2 60^\circ + \sin^2 45^\circ + \tan^2 120^\circ — \cot^2 30^\circ\)

Вычислим значения:
\(\sin 150^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin^2 150^\circ = \frac{1}{4}\)
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4}\)
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\tan 120^\circ = \tan (180^\circ — 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \Rightarrow \tan^2 120^\circ = 3\)
\(\cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \Rightarrow \cot^2 30^\circ = 3\)

Подставим:
\(2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 3 — 3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 0 = \frac{5}{4}\)