ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 152 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Какой треугольник с двумя данными сторонами имеет наибольшую площадь?

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha\)

\(\sin \alpha \leq 1\)

\(\sin \alpha = 1, \alpha = 90^\circ\)

Прямоугольный треугольник с данными катетами.

Площадь треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha\), где \(a\) и \(b\) — стороны треугольника, а \(\alpha\) — угол между ними. Эта формула показывает, что площадь зависит от длины сторон и от значения \(\sin \alpha\).

Функция синуса принимает значения от 0 до 1. Максимальное значение \(\sin \alpha = 1\) достигается, когда угол \(\alpha = 90^\circ\). Это значит, что для наибольшей площади угол между сторонами должен быть прямым. Если угол меньше \(90^\circ\), то значение \(\sin \alpha\) будет меньше единицы, а значит, площадь треугольника будет меньше.

Таким образом, чтобы получить максимальную площадь треугольника при фиксированных длинах сторон \(a\) и \(b\), нужно, чтобы угол между ними был равен \(90^\circ\). В этом случае треугольник становится прямоугольным, а его площадь вычисляется по упрощенной формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\).