ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 154 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две соседние стороны параллелограмма соответственно равны двум соседним сторонам прямоугольника. Чему равен острый угол параллелограмма, если его площадь в два раза меньше площади прямоугольника?

\( S_{MNFK} = AB \cdot AD \)

\( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) \)

\( AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot (AB \cdot AD) \)

\( \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \)

\( \angle BAD = 30^\circ \)

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S_{MNFK} = AB \cdot AD \), где \( AB \) и \( AD \) — длины сторон прямоугольника. Это стандартная формула, так как стороны прямоугольника взаимно перпендикулярны, а его площадь равна произведению длины на ширину.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле \( S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) \), где \( AB \) и \( AD \) — длины сторон параллелограмма, а \( \sin(\angle BAD) \) — синус угла между ними. Эта формула учитывает наклон сторон параллелограмма, так как его площадь зависит от высоты, опущенной на одну из сторон, а высота выражается через синус угла.

По условию задачи площадь параллелограмма в два раза меньше площади прямоугольника, то есть выполняется равенство \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot S_{MNFK} \). Это означает, что наклон сторон параллелограмма уменьшает его площадь в два раза по сравнению с прямоугольником, имеющим такие же длины сторон.

Подставляем выражения площадей в условие задачи: \( AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot (AB \cdot AD) \). Здесь \( AB \cdot AD \) присутствует как общий множитель, который можно сократить, так как длины сторон не равны нулю. После сокращения остаётся \( \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \).

Из тригонометрии известно, что угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен \( 30^\circ \). Это стандартное значение синуса для углов в треугольнике, которое часто используется в задачах.

\( \angle BAD = 30^\circ \).