ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 155 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

1) Найдите отношение площадей \( S_1 \) и \( S_2 \) треугольников, изображённых на рисунке 36 (длины отрезков даны в сантиметрах).

2) Площади треугольников \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) соответственно равны \( S_1 \) и \( S_2 \). Известно, что углы при вершинах \( A \) и \( A_1 \) равны. Докажите, что

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}\).

Краткий ответ:

1) Отношение площадей \( S_1 \) и \( S_2 \):

a) \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot b \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot 1 \cdot \sin \alpha} = 3 \)

b) \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot 4 \cdot \sin \alpha} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

c) \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin \alpha} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

2) \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin \angle B_1A_1C_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} \).

Подробный ответ:

1) Отношение площадей \( S_1 \) и \( S_2 \):

a) Рассмотрим первый случай. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha \), где \( a \) и \( b \) — стороны треугольника, а \( \alpha \) — угол между ними. Для \( S_1 \) имеем: \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot b \cdot \sin \alpha \). Для \( S_2 \) имеем: \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 1 \cdot \sin \alpha \). Тогда отношение площадей будет равно:
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot b \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot 1 \cdot \sin \alpha} = \frac{3 \cdot b \cdot \sin \alpha}{b \cdot \sin \alpha} = 3 \).
Таким образом, отношение площадей равно \( 3 \).

b) Рассмотрим второй случай. Для \( S_1 \) имеем: \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot \sin \alpha \). Для \( S_2 \) имеем: \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 4 \cdot \sin \alpha \). Тогда отношение площадей будет равно:
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot 4 \cdot \sin \alpha} = \frac{2 \cdot a \cdot \sin \alpha}{4 \cdot a \cdot \sin \alpha} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
Таким образом, отношение площадей равно \( \frac{1}{2} \).

c) Рассмотрим третий случай. Для \( S_1 \) имеем: \( S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin \alpha \). Для \( S_2 \) имеем: \( S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin \alpha \). Тогда отношение площадей будет равно:
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin \alpha} = \frac{4 \cdot \sin \alpha}{10 \cdot \sin \alpha} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).
Таким образом, отношение площадей равно \( \frac{2}{5} \).

2) Теперь рассмотрим общее доказательство. Площадь треугольника вычисляется по общей формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha \), где \( a \) и \( b \) — стороны треугольника, а \( \alpha \) — угол между ними. Для двух произвольных треугольников, имеющих одинаковый угол \( \alpha \), отношение их площадей будет зависеть только от произведения длин сторон, заключающих угол. Тогда:
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC}{\frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin \angle B_1A_1C_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} \).
Таким образом, отношение площадей двух треугольников равно отношению произведений длин их сторон, заключающих одинаковый угол.

Оцени решение