ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 156 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \( AD \) — биссектриса треугольника \( ABC \). Площадь треугольника \( ABD \) равна 12 см², а треугольника \( ACD \) — 20 см². Найдите отношение стороны \( AB \) к стороне \( AC \).

\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)\)

\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)\)

\(\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot \angle BAC\)

\(AB = \frac{24}{AD \cdot \sin(\frac{1}{2} \cdot \angle BAC)}\)

\(AC = \frac{40}{AD \cdot \sin(\frac{1}{2} \cdot \angle BAC)}\)

\(\frac{AB}{AC} = \frac{\frac{24}{AD \cdot \sin(\frac{1}{2} \cdot \angle BAC)}}{\frac{40}{AD \cdot \sin(\frac{1}{2} \cdot \angle BAC)}} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\)

Площадь треугольника \(ABD\) выражается как \(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)\). Подставляем значение площади \(S_{ABD} = 12\):

\(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = 12\).

Умножаем обе части на 2:

\(AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = 24\).

Выражаем \(AB\):

\(AB = \frac{24}{AD \cdot \sin(\angle BAD)}\).

Аналогично для треугольника \(ACD\):

\(S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)\). Подставляем значение площади \(S_{ACD} = 20\):

\(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = 20\).

Умножаем обе части на 2:

\(AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = 40\).

Выражаем \(AC\):

\(AC = \frac{40}{AD \cdot \sin(\angle CAD)}\).

Так как \(AD\) — биссектриса, углы \(BAD\) и \(CAD\) равны, то \(\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)\). Подставляем это в выражения для \(AB\) и \(AC\):

\(AB = \frac{24}{AD \cdot \sin(\angle BAD)}\), \(AC = \frac{40}{AD \cdot \sin(\angle BAD)}\).

Находим отношение \(AB : AC\):

\(\frac{AB}{AC} = \frac{\frac{24}{AD \cdot \sin(\angle BAD)}}{\frac{40}{AD \cdot \sin(\angle BAD)}} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\).