ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 158 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности, описанной около треугольника, равен \( R \), а два угла треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Найдите площадь треугольника.

\( S = 2R^2 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sin(\alpha + \beta) \)

Площадь треугольника можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C) \).

Рассмотрим треугольник, описанный около окружности радиуса \( R \). Его стороны выражаются через радиус \( R \) и углы треугольника следующим образом:

\( AC = 2R \sin(\beta) \), \( BC = 2R \sin(\alpha) \).

Угол \( \angle C \) равен \( 180^\circ — \alpha — \beta \), а его синус равен \( \sin(\alpha + \beta) \).

Подставляем значения сторон и угла в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} (2R \sin(\beta)) \cdot (2R \sin(\alpha)) \cdot \sin(\alpha + \beta) \).

Упрощаем выражение:

\( S = 2R^2 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sin(\alpha + \beta) \).