ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 16 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1) \(
2 \sin 150^\circ — 4 \cos 120^\circ
\)

2) \(
\tan 45^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \cot 150^\circ
\)

3) \(
\sin 90^\circ \cdot(\tan 150^\circ \cdot \cos 135^\circ — \tan 120^\circ \cdot \cos 135^\circ )^2
\)

1) \(2 \sin 150^\circ — 4 \cos 120^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 2 = 3\)
2) \(\tan 45^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \cot 150^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{3}{2}\)
3) \(\sin 90^\circ \cdot \left(\tan 150^\circ \cdot \cos 135^\circ — \tan 120^\circ \cdot \cos 135^\circ\right)^2 = 1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} -\)
\(- (-\sqrt{3}) \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{2}{3}\)

Для первого выражения найдем значения синуса и косинуса:
\(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ — 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
\(\cos 120^\circ = \cos (180^\circ — 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\)

Подставим в выражение:
\(2 \sin 150^\circ — 4 \cos 120^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} — 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 2 = 3\)

Для второго выражения вычислим каждое значение:
\(\tan 45^\circ = 1\)
\(\sin 120^\circ = \sin (180^\circ — 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cot 150^\circ = \cot (180^\circ — 30^\circ) = -\cot 30^\circ = -\sqrt{3}\)

Подставим и перемножим:
\(\tan 45^\circ \cdot \sin 120^\circ \cdot \cot 150^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{3}{2}\)

Для третьего выражения найдем значения:
\(\sin 90^\circ = 1\)
\(\tan 150^\circ = \tan (180^\circ — 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\tan 120^\circ = \tan (180^\circ — 60^\circ) = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}\)
\(\cos 135^\circ = \cos (180^\circ — 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Подставим в скобки:
\(\tan 150^\circ \cdot \cos 135^\circ — \tan 120^\circ \cdot \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} — (-\sqrt{3}) \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2} =\)

\(= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{6}}{2}\)

Приведем к общему знаменателю \(2\sqrt{3}\):
\(\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} — \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} — 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Возводим в квадрат и умножаем на \(\sin 90^\circ\):
\(1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{2}{3}\)