ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 160 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( \alpha \), а высоты \( BD \) и \( CE \) равны соответственно \( h_1 \) и \( h_2 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).

Площадь треугольника можно выразить через высоту \( h_1 \) и основание \( AC \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_1 \)

Также площадь можно выразить через высоту \( h_2 \) и основание \( AB \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_2 \)

И площадь можно выразить через угол \( \alpha \) и стороны \( AB \) и \( AC \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha \)

Подставляя выражения для \( AB \) и \( AC \) из первых двух формул, получаем:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2S}{h_2} \cdot \frac{2S}{h_1} \cdot \sin \alpha \)

\( S = \frac{h_1 h_2}{2 \sin \alpha} \)

Площадь треугольника можно выразить через высоту \( BD \) (\( h_1 \)) и основание \( AC \) следующим образом:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_1 \)

Отсюда основание \( AC \) выражается как:

\( AC = \frac{2S}{h_1} \)

Аналогично, площадь треугольника можно выразить через высоту \( CE \) (\( h_2 \)) и основание \( AB \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_2 \)

Отсюда основание \( AB \) выражается как:

\( AB = \frac{2S}{h_2} \)

Также площадь треугольника можно выразить через угол \( \alpha \) при вершине \( A \) и стороны \( AB \) и \( AC \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \alpha \)

Подставляем выражения для \( AB \) и \( AC \) из предыдущих формул:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2S}{h_2} \cdot \frac{2S}{h_1} \cdot \sin \alpha \)

Упрощаем выражение:

\( S = \frac{4S^2 \cdot \sin \alpha}{2 h_1 h_2} \)

Сокращаем \( S \) и находим окончательное выражение:

\( S = \frac{h_1 h_2}{2 \sin \alpha} \)