ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 161 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \( BM \) — высота треугольника \( ABC \), \( BM = h \), \( \angle A = \alpha \), \( \angle ABC = \beta \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).

\( S_{ABC} = \frac{h^2 \cdot \sin \beta}{2 \cdot \sin \alpha \cdot \sin (\alpha + \beta)} \)

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABM \). Угол \( \angle AMB = 90^\circ \), поэтому по определению синуса можно записать:

\( \sin \alpha = \frac{BM}{AB} \), откуда \( AB = \frac{BM}{\sin \alpha} = \frac{h}{\sin \alpha} \).

Теперь перейдем к треугольнику \( \triangle ABC \). По теореме синусов:

\( \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B} \), где \( \angle C = 180^\circ — \alpha — \beta \), следовательно, \( \sin \angle C = \sin(\alpha + \beta) \).

Подставим: \( AC = \frac{AB \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)} \).

Учитывая, что \( AB = \frac{h}{\sin \alpha} \), получаем:

\( AC = \frac{\frac{h}{\sin \alpha} \cdot \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)} = \frac{h \cdot \sin \beta}{\sin \alpha \cdot \sin (\alpha + \beta)} \).

Площадь треугольника \( S_{ABC} \) вычисляется по формуле:

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM \).

Подставим выражение для \( AC \) и \( BM = h \):

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h \cdot \sin \beta}{\sin \alpha \cdot \sin (\alpha + \beta)} \cdot h \).

Упростим:

\( S_{ABC} = \frac{h^2 \cdot \sin \beta}{2 \cdot \sin \alpha \cdot \sin (\alpha + \beta)} \).