ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 162 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 28 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади образовавшихся треугольников.

Краткий ответ:

1) \(p = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35\)

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{35(35 — 17)(35 — 25)(35 — 28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{44\ 100} = \)
\(=210\)

\(OH = \frac{S}{p} = \frac{210}{35} = 6\)

2) \(S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 51\)

3) \(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 75\)

4) \(S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = 84\)

Ответ: \(51 \, \text{см}^2\), \(75 \, \text{см}^2\), \(84 \, \text{см}^2\).

Подробный ответ:

Найдем полупериметр треугольника:

\(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 25 + 28}{2} = 35\)

Найдем площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона:

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p — AB)(p — BC)(p — AC)} =\)
\(= \sqrt{35(35 — 17)(35 — 25)(35 — 28)}\)

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{44100} = 210\)

Вписанная окружность имеет радиус:

\(OH = \frac{S_{\triangle ABC}}{p} = \frac{210}{35} = 6\)

Найдем площадь треугольника \(AOB\):

\(S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH\)

\(S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = \frac{102}{2} = 51\)

Найдем площадь треугольника \(BOC\):

\(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH\)

\(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = \frac{150}{2} = 75\)

Найдем площадь треугольника \(AOC\):

\(S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OH\)

\(S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 6 = \frac{168}{2} = 84\)

Ответ: \(51\), \(75\), \(84\)

Оцени решение