ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 163 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отрезок \( AD \) — биссектриса треугольника \( ABC \), \( AB = 6 \) см, \( AC = 8 \) см, \( \angle BAC = 120^\circ \). Найдите биссектрису \( AD \).
\( \angle BAC = 120^\circ, \angle BAD = \angle CAD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \)
\( S_{BAD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5 AD \sqrt{3} \)
\( S_{CAD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 AD \sqrt{3} \)
\( S_{ABC} = S_{BAD} + S_{CAD} \)
\( 12\sqrt{3} = 1.5 AD \sqrt{3} + 2 AD \sqrt{3} \)
\( 12\sqrt{3} = 3.5 AD \sqrt{3} \)
\( 3.5 AD = 12 \)
\( AD = \frac{24}{7} \)
\( \angle BAC = 120^\circ \)
\( \angle BAD = \angle CAD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)
Площадь треугольника \( \triangle ABC \) можно найти по формуле через синус угла:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC \)
Подставляем значения:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ \)
Из тригонометрии известно, что \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), тогда:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \)
Теперь выразим площадь треугольника \( \triangle BAD \) через биссектрису \( AD \) и сторону \( AB \):
\( S_{BAD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD \)
Подставляем значения:
\( S_{BAD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AD \cdot \sin 60^\circ \)
Из тригонометрии известно, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), тогда:
\( S_{BAD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5 AD \sqrt{3} \)
Аналогично выразим площадь треугольника \( \triangle CAD \) через биссектрису \( AD \) и сторону \( AC \):
\( S_{CAD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin \angle CAD \)
Подставляем значения:
\( S_{CAD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AD \cdot \sin 60^\circ \)
\( S_{CAD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 AD \sqrt{3} \)
Так как площадь треугольника \( \triangle ABC \) равна сумме площадей треугольников \( \triangle BAD \) и \( \triangle CAD \), то:
\( S_{ABC} = S_{BAD} + S_{CAD} \)
Подставляем значения:
\( 12\sqrt{3} = 1.5 AD \sqrt{3} + 2 AD \sqrt{3} \)
Складываем:
\( 12\sqrt{3} = 3.5 AD \sqrt{3} \)
Упрощаем:
\( 3.5 AD = 12 \)
Находим \( AD \):
\( AD = \frac{12}{3.5} = \frac{24}{7} \)
