ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 164 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см.

Краткий ответ:

1) Сделаем построение: \(BE \parallel CD, E \in AD; BH \perp AD, H \in AD\).

2) В параллелограмме \(EBCD\): \(BE = CD = 37\), \(DE = BC = 10\).

3) Рассмотрим \(\triangle ABE\):
\(AE = AD — DE = 50 — 10 = 40\),
\(p = \frac{1}{2}(13 + 37 + 40) = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45\),
\(S_{ABE} = \sqrt{45(45 — 13)(45 — 37)(45 — 40)}\),
\(S_{ABE} = \sqrt{45 \cdot 32 \cdot 8 \cdot 5} = \sqrt{57600} = 240\),
\(S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BH\),
\(BH = \frac{2 \cdot S_{ABE}}{AE} = \frac{2 \cdot 240}{40} = 12\).

4) В трапеции \(ABCD\):
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot BH\),
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (10 + 50) \cdot 12\),
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360 \, \text{см}^2\).

Подробный ответ:

1) Для нахождения площади трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC = 10 \, \text{см}\) и \(AD = 50 \, \text{см}\), а боковыми сторонами \(AB = 13 \, \text{см}\) и \(CD = 37 \, \text{см}\), сначала необходимо определить высоту \(BH\). Высота трапеции — это перпендикуляр, опущенный из вершины \(B\) на основание \(AD\). Для этого строим вспомогательные линии: \(BE \parallel CD\), где точка \(E\) принадлежит основанию \(AD\), а \(H\) — точка пересечения высоты \(BH\) с основанием \(AD\).

2) Рассмотрим параллелограмм \(EBCD\), который образуется при построении линии \(BE\), параллельной \(CD\). В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(BE = CD = 37 \, \text{см}\), а \(DE = BC = 10 \, \text{см}\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABE\), который является прямоугольным, так как \(BH \perp AD\).

3) Найдем длину отрезка \(AE\), который является частью основания \(AD\). Так как \(DE = BC = 10 \, \text{см}\), то \(AE = AD — DE = 50 — 10 = 40 \, \text{см}\). Далее воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника \(ABE\). Полупериметр треугольника \(ABE\) равен:
\(p = \frac{1}{2}(AB + BE + AE) = \frac{1}{2}(13 + 37 + 40) = 45 \, \text{см}\).

Площадь треугольника \(ABE\) вычисляется по формуле:
\(S_{ABE} = \sqrt{p(p — AB)(p — BE)(p — AE)} = \sqrt{45(45 — 13)(45 — 37)(45 — 40)}\).
Подставим значения:
\(S_{ABE} = \sqrt{45 \cdot 32 \cdot 8 \cdot 5} = \sqrt{57600} = 240 \, \text{см}^2\).

Также площадь треугольника \(ABE\) можно выразить через основание \(AE\) и высоту \(BH\):
\(S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BH\).
Отсюда высота \(BH\) находится как:
\(BH = \frac{2 \cdot S_{ABE}}{AE} = \frac{2 \cdot 240}{40} = 12 \, \text{см}\).

4) Теперь найдем площадь трапеции \(ABCD\) с помощью формулы:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot BH\), где \(BC\) и \(AD\) — основания трапеции, а \(BH\) — её высота. Подставим значения:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (10 + 50) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360 \, \text{см}^2\).

Таким образом, площадь трапеции равна \(360 \, \text{см}^2\).

Оцени решение