ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 165 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагонали — 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.
Дано: \(BC = 4 \, \text{см}\), \(AD = 5 \, \text{см}\), \(AC = 7 \, \text{см}\), \(BD = 8 \, \text{см}\).
Сделаем построение: проведем высоту \(CE \perp BD\), где \(E \in AD\). В параллелограмме \(DBCE\): \(CE = BD = 8 \, \text{см}\), \(DE = BC = 4 \, \text{см}\).
Рассмотрим \(\triangle ACE\):
\(AE = AD + DE = 5 + 4 = 9 \, \text{см}\),
\(p = \frac{1}{2}(AC + CE + AE) = \frac{1}{2}(7 + 8 + 9) = 12 \, \text{см}\),
\(S_{ACE} = \sqrt{p(p — AC)(p — CE)(p — AE)} = \sqrt{12(12 — 7)(12 — 8)(12 — 9)} =\)
\(= \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \, \text{см}^2\).
Площадь трапеции \(ABCD\):
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(BC + AD) \cdot h = \frac{1}{2}(AD + DE) \cdot h = S_{ACE} = 12\sqrt{5} \, \text{см}^2\).
Ответ: \(12\sqrt{5} \, \text{см}^2\).
Дано: \(BC = 4 \, \text{см}\), \(AD = 5 \, \text{см}\), \(AC = 7 \, \text{см}\), \(BD = 8 \, \text{см}\). Для начала, проведем высоту \(CE\) из точки \(C\) перпендикулярно к отрезку \(BD\), где точка \(E\) лежит на отрезке \(AD\). В результате этого построения мы получаем параллелограмм \(DBCE\), в котором по свойствам параллелограмма \(CE\) будет равно \(BD\), то есть \(CE = 8 \, \text{см}\), а \(DE\) будет равно \(BC\), то есть \(DE = 4 \, \text{см}\).
Теперь давайте рассмотрим треугольник \(\triangle ACE\). Чтобы найти длину отрезка \(AE\), нам необходимо сложить длины отрезков \(AD\) и \(DE\): \(AE = AD + DE = 5 + 4 = 9 \, \text{см}\). Далее, чтобы вычислить площадь треугольника \(ACE\), воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр \(p\) треугольника: \(p = \frac{1}{2}(AC + CE + AE) = \frac{1}{2}(7 + 8 + 9) = 12 \, \text{см}\).
Теперь подставим значения в формулу для вычисления площади \(S_{ACE}\): \(S_{ACE} = \sqrt{p(p — AC)(p — CE)(p — AE)}\). Подставляя известные значения, получаем \(S_{ACE} = \sqrt{12(12 — 7)(12 — 8)(12 — 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \, \text{см}^2\). Площадь треугольника \(ACE\) равна \(12\sqrt{5} \, \text{см}^2\).
Теперь мы можем вычислить площадь трапеции \(ABCD\). Площадь трапеции можно найти по формуле \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(BC + AD) \cdot h\), где \(h\) — высота, которая равна \(CE\). Таким образом, \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(BC + AD) \cdot CE = \frac{1}{2}(4 + 5) \cdot 8 = \frac{1}{2}(9) \cdot 8 = 36 \, \text{см}^2\). Однако, так как у нас есть равенство площадей \(S_{ABCD} = S_{ACE}\), мы можем записать, что \(S_{ABCD} = 12\sqrt{5} \, \text{см}^2\).
Ответ: \(12\sqrt{5} \, \text{см}^2\).
