ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 166 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Отрезки \( BM \) и \( CK \) — высоты остроугольного треугольника \( ABC \), \( \angle A = 45^\circ \). Найдите отношение площадей треугольников \( AMK \) и \( ABC \).

Краткий ответ:

Отношение площадей треугольников AMK и ABC равно \(\cos^2(\angle ZAB) = \cos^2(45^\circ) = \frac{1}{2}\). Ответ: 1 : 2.

Подробный ответ:

Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM равен 90 градусам, так как BM является высотой. Следовательно, \(\cos(\angle ZAB) = \frac{AM}{AB}\).
Рассмотрим треугольник ACK. Угол CAK равен 90 градусам, так как CK является высотой. Следовательно, \(\cos(\angle ZAC) = \frac{AK}{AC}\).
Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle A)\).
Площадь треугольника AMK равна \(\frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM \cdot \sin(\angle A)\).
Отношение площадей треугольников AMK и ABC равно \(\frac{AK \cdot AM}{AC \cdot AB} = \cos^2(\angle ZAB) = \cos^2(45^\circ) = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1 : 2.

Оцени решение