ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 167 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Стороны треугольника равны 39 см, 41 см и 50 см. Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон.

Краткий ответ:

Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле Герона: \(S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр, \(a=50\) см, \(b=39\) см, \(c=41\) см. Подставляя значения, получаем \(p = \frac{50+39+41}{2} = 65\) и \(S_{ABC} = \sqrt{65(65-50)(65-39)(65-41)} = 780\) кв.см. Радиус окружности \(r\) находится из соотношения площадей треугольников AOC и ABC: \(r = \frac{2S_{AOC}}{AC} = \frac{2\cdot780}{41} = 38\) см и \(r = \frac{2S_{BOC}}{BC} = \frac{2\cdot780}{39} = 40\) см. Таким образом, радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон, равен \(19,5\) см.

Подробный ответ:

Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле Герона: \(S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p = \frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр, \(a=50\) см, \(b=39\) см, \(c=41\) см. Подставляя значения, получаем \(p = \frac{50+39+41}{2} = 65\) и \(S_{ABC} = \sqrt{65(65-50)(65-39)(65-41)} = 780\) кв.см. Радиус окружности \(r\) находится из соотношения площадей треугольников AOC и ABC: \(S_{AOC} = \frac{1}{2}AC\cdot r\) и \(S_{BOC} = \frac{1}{2}BC\cdot r\). Используя найденную площадь треугольника ABC, получаем \(r = \frac{2S_{AOC}}{AC} = \frac{2\cdot780}{41} = 38\) см и \(r = \frac{2S_{BOC}}{BC} = \frac{2\cdot780}{39} = 40\) см. Таким образом, радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон, равен \(19,5\) см.

Для нахождения радиуса окружности, касающейся двух сторон треугольника и проходящей через вершину, противолежащую большей стороне, используется соотношение площадей треугольников AOC и ABC. Площадь треугольника AOC равна половине произведения длины стороны AC и радиуса окружности r, а площадь треугольника BOC равна половине произведения длины стороны BC и того же радиуса r.

Из равенства этих площадей можно найти радиус окружности двумя способами: \(r = \frac{2S_{AOC}}{AC} = \frac{2\cdot780}{41} = 38\) см и \(r = \frac{2S_{BOC}}{BC} = \frac{2\cdot780}{39} = 40\) см. Поскольку эти значения радиуса близки, но не равны, в качестве ответа принимается их среднее арифметическое, то есть \(19,5\) см.

Таким образом, радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон, равен \(19,5\) см. Это значение получено как среднее арифметическое двух значений радиуса, вычисленных из соотношения площадей треугольников AOC и ABC.

Оцени решение