ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 168 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Вершины треугольника соединены с центром вписанной в него окружности. Проведённые отрезки разбивают данный треугольник на треугольники, площади которых равны 26 см², 28 см² и 30 см². Найдите стороны данного треугольника.

Краткий ответ:

Пусть \(OH\) — высота, опущенная из точки \(O\) на стороны треугольника \(ABC\). Тогда \(AB = \frac{2 \cdot 26}{OH} = \frac{52}{OH}\), \(BC = \frac{2 \cdot 28}{OH} = \frac{56}{OH}\), \(AC = \frac{2 \cdot 30}{OH} = \frac{60}{OH}\).

Общая площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{\triangle ABC} = 26 + 28 + 30 = 84\). Полупериметр \(p = \frac{1}{2} \left( \frac{52}{OH} + \frac{56}{OH} + \frac{60}{OH} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{168}{OH} \right) = \frac{84}{OH}\).

По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\)
\(= \sqrt{\frac{84}{OH} \left(\frac{84}{OH} — \frac{52}{OH}\right) \left(\frac{84}{OH} — \frac{56}{OH}\right) \left(\frac{84}{OH} — \frac{60}{OH}\right)} = \)
\(=\sqrt{\frac{84}{OH} \cdot \frac{32}{OH} \cdot \frac{28}{OH} \cdot \frac{24}{OH}} = \frac{\sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}}{OH^2} = \frac{1344}{OH^2}\).
Приравнивая площади: \(84 = \frac{1344}{OH^2}\), откуда \(OH^2 = \frac{1344}{84} = 16\), следовательно \(OH = 4\). Тогда \(AB = \frac{52}{4} = 13\) см, \(BC = \frac{56}{4} = 14\) см, \(AC = \frac{60}{4} = 15\) см.

Подробный ответ:

Пусть \(O\) — некоторая точка внутри треугольника \(ABC\). Проведем отрезки из точки \(O\) к вершинам треугольника \(A\), \(B\), \(C\). Таким образом, треугольник \(ABC\) разделяется на три меньших треугольника: \(\triangle AOB\), \(\triangle BOC\), и \(\triangle AOC\). Предположим, что \(OH\) является высотой, опущенной из точки \(O\) на каждую из сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\). Это означает, что точка \(O\) является центром вписанной окружности (инцентром) треугольника \(ABC\), а \(OH\) — радиусом этой окружности.

Известны площади этих трех треугольников: \(S_{\triangle AOB} = 26\), \(S_{\triangle BOC} = 28\), \(S_{\triangle AOC} = 30\). Формула для площади треугольника гласит \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). Используя эту формулу для каждого из малых треугольников, мы можем выразить длины сторон \(AB\), \(BC\) и \(AC\) через \(OH\).

Для треугольника \(\triangle AOB\):
\(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH\).
Подставляя известное значение площади: \(26 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH\).
Умножая обе части уравнения на 2, получаем: \(52 = AB \cdot OH\).
Отсюда выражаем длину стороны \(AB\): \(AB = \frac{52}{OH}\).

Для треугольника \(\triangle BOC\):
\(S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH\).
Подставляя известное значение площади: \(28 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OH\).
Умножая обе части уравнения на 2, получаем: \(56 = BC \cdot OH\).
Отсюда выражаем длину стороны \(BC\): \(BC = \frac{56}{OH}\).

Для треугольника \(\triangle AOC\):
\(S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OH\).
Подставляя известное значение площади: \(30 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OH\).
Умножая обе части уравнения на 2, получаем: \(60 = AC \cdot OH\).
Отсюда выражаем длину стороны \(AC\): \(AC = \frac{60}{OH}\).

Общая площадь треугольника \(ABC\) равна сумме площадей трех меньших треугольников:
\(S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC}\).
\(S_{\triangle ABC} = 26 + 28 + 30 = 84\).

Теперь найдем полупериметр \(p\) треугольника \(ABC\). Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон треугольника:
\(p = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)\).
Подставим выражения для \(AB\), \(BC\) и \(AC\) через \(OH\):
\(p = \frac{1}{2} \left( \frac{52}{OH} + \frac{56}{OH} + \frac{60}{OH} \right)\).
Сложим дроби с одинаковым знаменателем:
\(p = \frac{1}{2} \left( \frac{52 + 56 + 60}{OH} \right)\).
Вычислим сумму в числителе: \(52 + 56 + 60 = 168\).
Таким образом, \(p = \frac{1}{2} \left( \frac{168}{OH} \right)\).
Упрощая, получаем: \(p = \frac{84}{OH}\).

Для нахождения площади треугольника \(ABC\) также можно использовать формулу Герона, которая связывает площадь треугольника с его сторонами и полупериметром:
\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}\).
Подставим выражения для \(p\), \(AB\), \(BC\) и \(AC\) в эту формулу:
\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{84}{OH} \left( \frac{84}{OH} — \frac{52}{OH} \right) \left( \frac{84}{OH} — \frac{56}{OH} \right) \left( \frac{84}{OH} — \frac{60}{OH} \right)}\).
Вычислим разности в скобках:
\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{84}{OH} \left( \frac{84-52}{OH} \right) \left( \frac{84-56}{OH} \right) \left( \frac{84-60}{OH} \right)}\).
\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{84}{OH} \cdot \frac{32}{OH} \cdot \frac{28}{OH} \cdot \frac{24}{OH}}\).
Объединим все множители под корнем:
\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}{OH^4}}\).
Извлечем корень из знаменателя:
\(S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}}{OH^2}\).
Вычислим произведение чисел в числителе: \(84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24 = 1806336\).
Найдем квадратный корень из этого числа: \(\sqrt{1806336} = 1344\).
Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона выражается как:
\(S_{\triangle ABC} = \frac{1344}{OH^2}\).

Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника \(ABC\): \(S_{\triangle ABC} = 84\) и \(S_{\triangle ABC} = \frac{1344}{OH^2}\). Приравняем их, чтобы найти значение \(OH\):
\(84 = \frac{1344}{OH^2}\).
Умножим обе части уравнения на \(OH^2\):
\(84 \cdot OH^2 = 1344\).
Разделим обе части на 84:
\(OH^2 = \frac{1344}{84}\).
Выполним деление:
\(OH^2 = 16\).
Извлечем квадратный корень. Поскольку \(OH\) представляет собой длину, оно должно быть положительным:
\(OH = \sqrt{16}\).
\(OH = 4\).

Теперь, зная значение \(OH\), мы можем найти длины сторон треугольника \(ABC\), подставив \(OH = 4\) в ранее полученные выражения:
Длина стороны \(AB\): \(AB = \frac{52}{OH} = \frac{52}{4} = 13\) см.
Длина стороны \(BC\): \(BC = \frac{56}{OH} = \frac{56}{4} = 14\) см.
Длина стороны \(AC\): \(AC = \frac{60}{OH} = \frac{60}{4} = 15\) см.

Ответ: 13 см, 14 см, 15 см.

Оцени решение