ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 169 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что \( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r} \), где \( h_1, h_2 \) и \( h_3 \) — высоты треугольника, \( r \) — радиус вписанной окружности.

Краткий ответ:

Дано: \(O\) — центр впис. окр; \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — высоты \(\Delta ABC\); \(AA_1 = h_1\); \(BB_1 = h_2\); \(CC_1 = h_3\). Доказать: \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\).

Решение:
1) Примем значения: \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\).
2) Рассмотрим \(\Delta ABC\):
Площадь \(S\) треугольника может быть выражена как \(S = \frac{1}{2}ah_1 = \frac{1}{2}bh_2 = \frac{1}{2}ch_3\).
Также, площадь \(S\) может быть выражена через полупериметр \(p\) и радиус \(r\) вписанной окружности: \(S = pr = \frac{1}{2}(a+b+c)r\).
Из этих равенств получаем \(ah_1 = bh_2 = ch_3 = (a+b+c)r\).
Разделим каждое из этих выражений на \((a+b+c)\):
\(\frac{a}{a+b+c} = \frac{r}{h_1}\)
\(\frac{b}{a+b+c} = \frac{r}{h_2}\)
\(\frac{c}{a+b+c} = \frac{r}{h_3}\)
Сложим левые и правые части этих уравнений:
\(\frac{r}{h_1} + \frac{r}{h_2} + \frac{r}{h_3} = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{a+b+c}\)
\(\frac{r}{h_1} + \frac{r}{h_2} + \frac{r}{h_3} = \frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{r}{h_1} + \frac{r}{h_2} + \frac{r}{h_3} = 1\)
Вынесем \(r\) за скобки:
\(r \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} \right) = 1\)
Разделим обе части на \(r\):
\(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\)
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано: Пусть \(O\) является центром вписанной окружности треугольника \(ABC\). Пусть \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) являются высотами этого треугольника, опущенными из вершин \(A\), \(B\), \(C\) соответственно на противоположные стороны. Длины этих высот обозначим как \(AA_1 = h_1\), \(BB_1 = h_2\), \(CC_1 = h_3\). Пусть \(r\) обозначает радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\). Требуется доказать следующее равенство: \(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}\).

Обозначим длины сторон треугольника \(ABC\) следующим образом: сторона \(BC\) имеет длину \(a\), сторона \(AC\) имеет длину \(b\), а сторона \(AB\) имеет длину \(c\). Пусть \(S\) обозначает площадь треугольника \(ABC\).

Площадь треугольника может быть вычислена как половина произведения длины стороны на длину соответствующей высоты, опущенной на эту сторону. Таким образом, для стороны \(a\) и высоты \(h_1\): \(S = \frac{1}{2}ah_1\). Для стороны \(b\) и высоты \(h_2\): \(S = \frac{1}{2}bh_2\). Для стороны \(c\) и высоты \(h_3\): \(S = \frac{1}{2}ch_3\). Из этих выражений мы можем получить, что \(2S = ah_1\), \(2S = bh_2\), и \(2S = ch_3\).

Площадь треугольника также может быть выражена через его полупериметр и радиус вписанной окружности. Полупериметр \(p\) определяется как половина суммы длин всех сторон: \(p = \frac{a+b+c}{2}\). Формула для площади через полупериметр и радиус вписанной окружности гласит: \(S = pr\). Подставив выражение для \(p\), получаем: \(S = \frac{a+b+c}{2}r\). Из этого выражения следует, что \(2S = (a+b+c)r\).

Поскольку все полученные выражения равны \(2S\), мы можем приравнять их друг к другу: \(ah_1 = bh_2 = ch_3 = (a+b+c)r\).

Из равенства \(ah_1 = (a+b+c)r\), мы можем выразить сторону \(a\): \(a = \frac{(a+b+c)r}{h_1}\). Аналогично, из \(bh_2 = (a+b+c)r\), выразим сторону \(b\): \(b = \frac{(a+b+c)r}{h_2}\). И из \(ch_3 = (a+b+c)r\), выразим сторону \(c\): \(c = \frac{(a+b+c)r}{h_3}\).

Теперь сложим левые части этих трех уравнений и правые части этих трех уравнений: \(a+b+c = \frac{(a+b+c)r}{h_1} + \frac{(a+b+c)r}{h_2} + \frac{(a+b+c)r}{h_3}\).

Заметим, что в правой части уравнения присутствует общий множитель \((a+b+c)r\). Вынесем его за скобки: \(a+b+c = (a+b+c)r \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} \right)\). Поскольку \(a\), \(b\), \(c\) являются длинами сторон треугольника, их сумма \(a+b+c\) всегда положительна и не равна нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на \((a+b+c)\): \(1 = r \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} \right)\). Наконец, поскольку \(r\) является радиусом вписанной окружности, он также положителен и не равен нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на \(r\): \(\frac{1}{r} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}\). Таким образом, требуемое равенство доказано.

Оцени решение