ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 17 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) \[
\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ}
\]

2) \[
\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ}
\]

3) \[
\frac{\tan 18^\circ}{\tan 162^\circ}
\]

4) \[
\frac{\cot 18^\circ}{\cot 162^\circ}
\]

1) \(\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} = \frac{\sin 18^\circ}{\sin (180^\circ — 18^\circ)} = \frac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 1\)

2) \(\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{\cos (180^\circ — 18^\circ)} = \frac{\cos 18^\circ}{-\cos 18^\circ} = -1\)

3) \(\frac{\tan 18^\circ}{\tan 162^\circ} = \frac{\tan 18^\circ}{\tan (180^\circ — 18^\circ)} = \frac{\tan 18^\circ}{-\tan 18^\circ} = -1\)

4) \(\frac{\cot 18^\circ}{\cot 162^\circ} = \frac{\cot 18^\circ}{\cot (180^\circ — 18^\circ)} = \frac{\cot 18^\circ}{-\cot 18^\circ} = -1\)

Рассмотрим первое выражение \(\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ}\). В тригонометрии существует важное тождество: \(\sin (180^\circ — x) = \sin x\). Это означает, что синус угла, дополненного до 180 градусов, равен синусу самого угла. В нашем случае угол \(162^\circ\) можно представить как \(180^\circ — 18^\circ\). Следовательно, \(\sin 162^\circ = \sin (180^\circ — 18^\circ) = \sin 18^\circ\). Подставляя это в исходное выражение, получаем \(\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} = \frac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 1\). Таким образом, первое выражение равно единице.

Теперь рассмотрим второе выражение \(\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ}\). Для косинуса действует другое важное тождество: \(\cos (180^\circ — x) = -\cos x\). Это означает, что косинус угла, дополненного до 180 градусов, равен минус косинусу самого угла. В нашем случае угол \(162^\circ\) равен \(180^\circ — 18^\circ\), поэтому \(\cos 162^\circ = \cos (180^\circ — 18^\circ) = -\cos 18^\circ\). Подставляя это в выражение, получаем \(\frac{\cos 18^\circ}{\cos 162^\circ} = \frac{\cos 18^\circ}{-\cos 18^\circ} = -1\). Значит, второе выражение равно минус единице.

Рассмотрим третье выражение \(\frac{\tan 18^\circ}{\tan 162^\circ}\). Для тангенса существует тождество: \(\tan (180^\circ — x) = -\tan x\). Это значит, что тангенс угла, дополненного до 180 градусов, равен минус тангенсу самого угла. Поскольку \(162^\circ = 180^\circ — 18^\circ\), то \(\tan 162^\circ = -\tan 18^\circ\). Подставляя это, получаем \(\frac{\tan 18^\circ}{\tan 162^\circ} = \frac{\tan 18^\circ}{-\tan 18^\circ} = -1\). Таким образом, третье выражение равно минус единице.

Последнее выражение \(\frac{\cot 18^\circ}{\cot 162^\circ}\) можно рассмотреть с помощью формулы для котангенса: \(\cot (180^\circ — x) = -\cot x\). Это означает, что котангенс угла, дополненного до 180 градусов, равен минус котангенсу самого угла. Поскольку \(162^\circ = 180^\circ — 18^\circ\), то \(\cot 162^\circ = -\cot 18^\circ\). Подставляя это в выражение, получаем \(\frac{\cot 18^\circ}{\cot 162^\circ} = \frac{\cot 18^\circ}{-\cot 18^\circ} = -1\). Значит, четвертое выражение равно минус единице.